Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Мы ограничимся рассмотрением сферически-симметрично го случая*). Соответствующую усредненную метрику g= < guv > удобно записать в виде [Бардин (1981)]
ds2 = — е2 lilFdv2 +le ^drdv +r2dai2. (13.3.1)
Здесь V - световая координата опережающего времени, а и F — функции
*) Теорема о ’’выпадении волос” вблизи сингулярности внутри черной дыры (см. § 12.1), согласно которой при удалении от коллапсирующего иевращающегося тела пространство-время в Г-области все в большей степени приближается к сферически-симметричному, дает основание считать, что выводы, полученные для сфери чески-симметричных черных дыр, могут иметь значение и для более общих ситуаций.
>/2 19*
291
от г и и, имеющие следующий инвариантный смысл: F(r, и)=?Д1>. е~ф^ и) =g,tl'r>ltV'V.
(13.3.2)
Будем считать пространство-время асимптотически плоским и потребуем, чтобы
Iim F(r, и)=1. Iim ф(г,и) = 0. (13.3.3)
I • —> OO 1‘ —* OO
Конечно, само описание геометрии с помощью усредненной метрики gMV = < „ > имеет ограниченную область применимости. В частности, оно
неприменимо на масштабах, меньших Zp1, из-за сильных квантовых флуктуаций гравитационного поля. Мы вернемся к обсуждению вопроса о возможной роли флуктуаций (г < Zp1) позднее, а пока остановимся на некоторых общих свойствах усредненной метрики.
Существенную информации! о свойствах рассматриваемого пространства-времени можно получить, изучая поведение поверхности уровня F = const функции F. В частности, внешняя часть поверхности F = О совпадает с горизонтом видимости. Если бы образовавшаяся черная дыра была статической, го горизонт видимости совпадал бы с горизонтом событий и поверхность F = O описывалась бы уравнением г = 2М, где M — масса образовавшейся черной дыры. Квантовое испарение дыры приводит к тому, что горизонт видимости нестатичен и размер его уменьшается со временем (кривая BC на рис. 89). Если г = p(v) - уравнение выходящих радиальных световых лучей, то на поверхности уровня F = O имеем
dp
— =CvF= 0.
Jv
(13.3.4)
В частности, на участке BC d 2 p/dv2 > 0.
Используя выражение (13.3.1) для метрики, можно вычислить соответствующий тензор Риччи и убедиться, что эта метрика в общем случае удовлетворяет уравнениям Эйнштейна 1
R
ЦІ'
^tivR = SnTtiv
(13.3.5)
(13.3.6)
с отличной от нуля правой частью. В частности,
На поверхности уровня F = O (на горизонте видимости) это соотношение упрощается и принимает вид
1
8 Tir
(^F)iU
I d2 р
F = о
Snr dv
(13.3.7)
Поэтому на участке BC имеется поток отрицательной плотности энергии через горизонт видимости, что находится в полном соответствии с результатами, изложенными в гл. 10.
292
Рис. 89. Возможные варианты поведения горизонта видимости при квантовом испарении черной дыры
На всем интервале времени и, в течение которого масса черной дыры т (и) (в качестве которой можно выбрать величину m(v) = г/2|F = 0) значительно превосходит планковскую wP1, скорость изменения размера горизонта видимости со временем d(r\F = 0)/dv мала по сравнению со скоростью света, и для описания процессов вблизи горизонта можно использовать квазистаїичес-кое приближение [Гайчек, Израэль (1980), Бардин (1981), Фролов (1981), Нитьянанда, Нараян (1981)]*).
Последний этап испарения, на котором масса черной дыры становится сравнимой с планковской, является наиболее труд ным для описания. На этом этапе кривизна пространства-времени вблизи го ризонта видимости может достигать величины l//pj, и для нахождения ус редненной метрики требуется знание эффективного действия с учетом, BOOб ще говоря, всех квантовых поправок. В общем случае можно утверждать что если поверхность F = 0 пересекает г = 0, то возникает сингулярность связанная с обращением в бесконечность инвариантов кривизны [Фролов Вилковыский (1979, 1981),Кодама (1979, 1980)].
В принципе имеется возможность избежать появления голой сингулярности, если предположить, что поверхность F = 0 является замкнутой и нигде не пересекает линии г = 0 (линия BCDEFG на рис. 89). В этом случае отсутствует также и сингулярность внутри черной дыры**). Такая возмож ность обсуждалась в р ботах Фролова, Вилковыского (1979, 1981, 1982) Томбулиса (1980), Хаслачера, Моттолы (1981). Для этого решения прост ранство-время вблизи г = 0 является локально плоским, и можно ожидать что оно обладает при г /Р1 значением кривизны порядка Zpj , а внутрен няя часть линии F = О (FED) отстоит от г = 0 на расстояние порядка /рі Используя общее соотношение (13.3.7), можно убедиться, что Tvv < 0 на участке EDB и Tvv 0 на участке EFGB, где E и В - точки касания F = О линий г = const [Роман, Бергман (1983)].
Пространство-время с замкнутым горизонтом F = 0 не обладает горизонтом событий, и в этой ситуации, строго говоря, черная дыра отсутствует.
*) Отдельные вопросы, связанные с изучением геометрии испаряющихся черных дыр,Помимо перечисленных работ см. также Волович и др. (1976*), Хискок (1981), Бальбинот, Бергамнни (1982), Бальбннот н др. (1982), Бальбннот (1984а), Kypo-да (1984).
