Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
и в смысле Ферми - Уолкера, если
^tAa р ... = 0. (П.12)
Геодезическая х“( X) определяется как решение уравнения
d2xa
+ Г
d\2 ^ d\ d\ ' '"' d\ где /(X) - произвольная функция. За счет изменения параметризации
X =X(X) эту функцию можно обратить в нуль. Соответствующий параметр называют аффинным. Аффинный параметр определен с точностью до линей-
I dx" dxv \
ного преобразования. Для в рем єни подобных I g ------ ---- < 0 J и прост-
\ м d\ d\ /
/ dx11 dxv \
ранственноподобных I gav— --------- > 01 геодезических аффинный пара-
\ м d\ d\ I
метр пропорционален собственной длине f Vl ds1 | вдоль кривой.
Уравнение девиации геодезических. Пусть им ( X ) — вектор, соединяющий пару близких геодезических при одинаковом значении аффинных параметров X вдоль них. Тогда имеет место уравнение
D2 па
dx11 dx1
= /(М-
dxa
(П.13)
d\2
где
=
+ R
dxp
d\
PyS
U13H7U8 = 0,
D
d\
= UliV
302
Векторное поле Киллинга S^ в пространстве с метрикой g^iv определяется соотношением
W s 2^;,) = °- (ПЛ4>
Векторное поле Киллинга удовлетворяет уравнению
= ¦ (ПЛ5) Если S^ и Tjft - два векторных поля Киллинга, то [g , »7]м =SaBaJj*1 -
— *?** - также векторное поле Киллинга.
Если времени подобно (S^Sjl < 0) и Uil = S*1 /1 SaS а 11/2 - 4-ско-
рость движения ВДОЛЬ S", to ускорение
w" = MaVaM" = ± V^lnItaJaI. (П.16)
Тензорное поле Киллинга - это симметричное тензорное поле Sa, ...ат = = S (а, ... ат ) > удовлетворяющее уСЛОВИЮ
S(a, ... am; 0) = 0. (П.17)
Конформные преобразования определяются как преобразования метрики вида
gap(x) = n2(x)ga(з(х). (П.18)
Тензорное поле Aa1 a" ^ является полем веса s, если при преобразо-
вании (П. 18) оно преобразуется по закону
_ s-n+т *а, ... ос„
Pi ¦*• Pm Pi *.. Pm
А*' =^П+тАа'-а\....вт. (П.19)
Если V7- ковариантная производная в метрике gap , то
* .а ... _ .а ... , ^a .о ... , „а
^yА /з ...'-VyA (3... +CyaA р Су0
(П.20)
где
с“р = с(70) =-^-1 [5^V7n +5aV0n - gy0ga°VaSl\. (П.21)
При конформных преобразованиях тензор Вейля Caf3y ь не изменяется, а
кривизны R0lPy 6, Ratз и R преобразуются следующим образом:
RafSy ° =RaPy ° + 2 VlaC^17 + 2C7|a Ct31 л , (П. 22)
Raff = Raff + 2^2 1 Va Vp SI + JT1Saf3V" Vo SI
-зSI-2goi0gia VySlVaSl, (П. 23)
R = Sl2R +bSlg^° VyVaSl- 12giaVy SIV„ П. (11.24)
303
Элемент объема-.
d*v = sf^gd^x. (П. 25)
Элемент doa гиперповерхности 2, определяемой уравнениями Xm = = хц (у1) , есть
1 /аЛ , , ,
doa = — ea0i зз det (--y-j dy dy dy , (П. 26)
где Cai3yfl — антисимметричный тензор:
^atfiyb у/ S ^afiyh (П. 27)
(ЄаРуЬ — ПОЛНОСТЬЮ антисимметричный СИМВОЛ (б0 12 3 = 1)).
Элемент doa0 двумерной поверхности S, определяемой уравнениями
.Vм = Xtl (za ) (а = 1,2), есть
1 (Эл'7° \ , , doa0 = — Ca0yn2 det у—Jdz1 dz2. (П. 28)
Интегрирование в римановом пространстве. Пусть $ — скалярное, іра —
векторное и — антисимметричное тензорное поля. Тогда определены
интегралы
Tv У) = J> d\, (П.29)
V
T^Wa\ =S ^doa, (П.30)
. N'
TsWa0]= S^daoi0. (П. 31)
5
Теорема Сто кед:
f*a.ad4v= f*adoa, (П.32)
V dV
Pdaa= f Vats do а0, (П. 33)
г ЗЕ
где Э V и Э S — границы 4-объема V и гиперповерхности 2.
Индуцированная метрика Hij и внешняя кривизна Kiу гиперповерхности.
Пусть лм = лм(і’') — уравнение гиперповерхности X, нм - единичная нор-
Э.\'м ,
маль к ней и ) = —~е(і) - тройка взаимно ортогональных единичных векторов, касательных к 2. Тогда дхи
Аі/=ТТ 77^’ (П34)
Э г Эу’
^40(/) _ ,(м L\0 Vr?'(/), (П.35)
где Л(,) (у) — компоненты Kjj в базисе Є(,).
304
Уравнения Гаусса Кодацци:
R т ijk = (3>ЛШ 1/к + е(н) (Kjl Km k - KikKj).. (П. 36)
KtiRtl ijk = -е (п) (Kij: * - Kik (П. 37)
где є (л) =IitlItti = ±1, ( ):1 — ковариантная производная в метрике Иц. (3* RmIjic — тензор кривизны трехмерного пространства с этой метрикой.
”3 + \”-разбиение тензора Эйнштейна:
nan-Ga0 = - (3)Л + ~ є (и) [К2 - KijKii], (П. 38)
naGai =-е(п) [Ki m:m-K:,], (П.39)
где (3)R = hik (3>Д"' imk, К = ItilKij.
Действие Эйнштейна:
W\g]=^—- ( $ RsTid*x-2 $ Кфіс1гу). (П.40)
Уравнения Эйнштейна:
8тгС
Ga0=-^-Ta0, (П. 41)
где Ta0 — тёнзор энергии-импульса:
—2с S Wm
Tafi - V=F Sgafi ’ (П'42)
Wm — действие материи. Для ковариантного действия Wm T0lfi. 0 = 0.
Энергетические условия. Пусть Hti — произвольное времениподобное векторное поле.
Слабое энергетическое условие означает выполнение следующих неравенств для заданного Ta0:
TaeHa H0 > 0. (П. 43)
Условие энергодоминантности: Ta0Hfi — непространственноподобный вектор.
Сильное энергетическое условие - выполнение неравенств
Ta0Ff T^ HaHa- (П. 44)
Электромагнитное поле Afi.
Действие:
W [А] =_ -L JFtiv FtilW^d4X +f AfiIti s/4d*x, (П.45)
16тг V
Ffiv - 2A[l>'fi]. (П.46)
305
Уравнения Максвелла:
Fttv 5,, = 4*/". (П.47)
Тензор энергии-импульса:
1
T =
4тг
(П. 48)
