Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
107
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
ными способами; для этого достаточно из восьми ребер, выходящих из центральной точки проекции, выбрать ту или иную подходящую четверку (аналогично тому как это можно было сделать при разбиении плоской проекции трехмерного куба, т. е. правильного шестиугольника, на три ромба). Эти косоугольные параллелепипеды представляют собой проекции трехмерных кубов, ограничивающих четырехмерный куб, и заполняют ромбододекаэдр дважды. Их число равно восьми.
He лишне упомянуть, что природа производит такие ромбододекаэдры в виде кристаллов минерала граната. Следовательно, кристаллы граната можно рассматривать как тень четырехмерного куба на наш трехмерный мир.
Мы уже подчеркнули, что изучение четвертого измерения нельзя рассматривать только как математический курьез. Четырехмерное пространство получило неожиданное и притом фундаментальное для современного физического исследования значение в теории относительности.
Другие многомерные геометрии, причем с еще большим числом измерений, также нашли в нашем столетии широкое применение. Это относится даже к введенным Гильбертом пространства.м с бесконечным числом измерений. Эти пространства, имеющие чрезвычайно большое значение для многих математических проблем, играют важную роль также в современной теоретической физике. В частности, гильбертово пространство с бесконечным числом измерений нашло блестящее применение в квантовой механике.
§ 13. Конечные пространства
Согласно евклидовой теории пространства трехмерное мировое пространство безгранично и его протяжение бесконечно. Первое из указанных свойств имеет топологический характер. Оно выражает собой, что пространство ни в каком направлении не имеет границ. Второе свойство имеет метрический характер. Оно показывает, что в любом направлении пространства можно перемещаться сколь угодно далеко.
108
§ 13. КОНЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Оба эти свойства отнюдь не требуют, чтобы пространство соответствовало нашим привычным, естественным представлениям. В § 7 гл. I с помощью рис. 5 и 6 мы изобразили двумерный мир, изоморфный с евклидовой плоскостью и являющийся поэтому неограниченным и бесконечным. Правда, этот мир, согласно евклидовому представлению, является ограниченной и конечной частью «естественной» евклидовой плоскости, так как он заключен внутри круга К конечного радиуса. Так обстоит дело с нашей точки зрения. Однако, рассматривая этот /(-мир, мы должны исходить из представлений живущих в нем воображаемых существ. Для них этот мир не конечен, так как вследствие предположения о сжатии их масштабов расстояние от фиксированной точки О до подвижной точки P будет неограниченно расти по мере приближения точки P к периферии круга К¦ Следовательно, эта окружность представляет собой в мире К «бесконечно удаленную» линию, которую миниатюрные существа никогда не могут достигнуть. Таким образом, с их точки зрения неограниченный мир К бесконечно велик.
Этим свойством обладает также неевклидово пространство Бойяи и Лобачевского. Все то, что было сказано об евклидовом мире К, действительно также для неевклидовой плоскости, представляемой моделью Пуанкаре. Аналогичным образом обстоит дело и с кольцевым пространством, рассмотренным в § 5 гл. I, опять, конечно, с точки зрения жителей этого мира и с учетом замечаний, сделанных на стр. 38.
Отсутствие каких бы то ни было границ у пространства является фундаментальным предположением для понятия любого пространства. Возражение, что при продвижении в пространстве мы можем натолкнуться на «стену», через которую дальше нельзя проникнуть, должно быть отклонено. Следовательно, мы требуем, чтобы каждая точка пространства имела полную пространственную окрестность1). У точки стены или границы пространства такой окрестности не может быть.
’) В математике это свойство выражается словами: пространство открыто.
109
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
С другой стороны, «неограниченность» пространства не исключает возможности того, что оно может быть конечным. Такие конечные, но неограниченные одно- и двумерные пространства нам знакомы из нашего ближайшего эмпирического окружения. Примером пространства первого вида может служить полная окружность, примером пространства второго вида — поверхность земного шара. В самом деле, эта поверхность не имеет никаких границ или «берегов», но протяжение ее конечное. Расстояние между двумя точками (вдоль
земной поверхности) самое большее равно половине длины экватора, т. е. около 20 000 км. Аналогичное положение имеет место и для поверхности кольца, изобра* женного на рис. 24. Это двумерное пространство (поверхность) также не имеет никаких границ, однако оно конечно, в чем легко убедиться, если измерить длину путей на этой поверхности при помощи масштаба окружающего трехмерного евклидова пространства, т. е. так, как это делается в гауссовой теории поверхностей.
Труднее представить себе трехмерное неограниченное, но конечное пространство. Однако, применяя аналитический способ, разъясненный в § 12 гл. I, можно строить такие трехмерные пространства. Подобно тому как поверхность трехмерного куба или шара в двух измерениях неограничена, но конечна, так и трехмерные тела, ограничивающие четырехмерный куб или шар, также неограничены, но конечны. Так как мы не обладаем способностью непосредственного восприятия четвертого измерения, то такие построения остаются довольно абстрактными. Все же существует возможность
