Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Опишем несколько частных случаев таких проекций четырехмерных образов на трехмерное пространство.
Рассмотрим упомянутый выше четырехмерный куб. Можно наглядно построить этот куб следующим образом. Начнем с одномерного горизонтального отрезка, который примем за единицу длины. Переместим этот отрезок в сторону, в перпендикулярном к нему направлении, на единицу длины. Получится квадрат. Этот квадрат переместим в вертикальном направлении опять
104
§ 12. ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
на единицу длины. Получится куб, ограниченный первоначальным и приподнятым квадратами и, кроме того, четырьмя боковыми квадратами. Наконец, переместим трехмерный куб на единицу длины в направлении, перпендикулярном к его пространству, т. е. в направлении четвертого измерения. В результате получится тело, «нижним» базисом которого будет трехмерный куб, а «верхним» базисом — такой же куб, но в сдвинутом положении. Кроме того, в качестве ограничивающих тел будут еще шесть других трехмерных кубов, образовавшихся из шести боковых квадратов трехмерного куба при его параллельном переносе в направлении четвертого измерения.
Таким образом, мы получили четырехмерный куб, ограниченный 8 обычными кубами и имеющий 16 вершин, из которых 8 принадлежат «нижнему» базисному кубу, а другие 8 — «верхнему» базисному кубу.
Можно получить отчетливую картину структуры четырехмерного куба, если рассмотреть его проекции на трехмерное пространство. На рис. 22 показаны перспективные изображения трехмерного куба (слева) и четырехмерного куба (справа). Эти изображения представляют собой центральные проекции трехмерного куба на двумерную плоскость и четырехмерного куба на трехмерное пространство, причем в том и другом случае центр проекций расположен вне куба на небольшом от него расстоянии. Поэтому в проекции трехмерного куба изображение бокового квадрата, обращенного к наблюдателю, получилось больше, чем изображения остальных квадратов. Так как мы обладаем способностью наглядного восприятия третьего измерения, то для нас не представляет никаких трудностей видеть проекцию трехмерного куба пространственно: мы как бы смотрим «внутрь» куба через передний, большего размера квадрат.
Аналогичным образом построена правая проекция на рис. 22, т. е. трехмерное перспективное изображение четырехмерного куба. Трехмерный куб, расположенный наиболее близко к центру перспективы, т. е. к глазу наблюдателя, получился самым большим. Внутри него расположены изображения остальных семи граничных
105
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
трехмерных кубов. Небольшой трехмерный куб, расположенный в середине проекции, является изображением того граничного трехмерного куба, который с точки зрения наблюдателя расположен «позади» четырехмерного куба. Шесть перспективно искаженных изображений трехмерных кубов соединяют между собой наиболее «близкий» и наиболее «удаленный» трехмерные кубы.
Форма проекции четырехмерного тела на трехмерное пространство зависит от вида применяемой проекции, а также от того, с какого расстояния и в каком
направлении производится проектирование. Покажем, какую форму имеет проекция четырехмерного куба на трехмерное пространство при применении параллельной проекции. Предположим, что четырехмерный куб освещается солнцем четырехмерного пространства и поэтому бросает тень на наше трехмерное пространство. На рис. 23 справа изображена получающаяся проекция для того случая, когда одна из диагоналей четырехмерного куба параллельна солнечным лучам и перпендикулярна к нашему трехмерному пространству.
Как выглядит эта тень? Будет легче понять ее фигуру, если сначала рассмотреть тень обыкновенного трехмерного куба на плоскость, причем принять, что этот куб находится в таком же положении относительно очень удаленного центра (Солнце), как ранее четырех-
106
§ 12. ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
мерный куб. Такая плоская проекция обыкновенного трехмерного куба изображена на рис. 23 слева. На первый взгляд полученное изображение представляет собой правильный шестиугольник, разделенный двумя способами на три ромба. Однако наш глаз, привычный к восприятию третьего измерения (в данном случае направленного в глубину рисунка), без труда воспринимает это изображение как пространственное в виде трехмерного куба, ограниченного шестью квадратами.
Из 8 вершин куба две совпадают в центральной точке проекции. Отрезок, соединяющий эти диаметрально противоположные вершины, перпендикулярен к плоскости рисунка.
Аналогичным образом следует понимать и правую часть рис. 23, представляющую собой параллельную проекцию четырехмерного куба. Эта трехмерная проекция ограничена 12 конгруэнтными ромбами, причем косинус меньшего из углов каждого ромба равен Va* Число вершин равно 14. Эти точки являются проекциями 16 вершин четырехмерного куба. Две недостающие вершины совпадают с центральной точкой проекции (так же, как это было и на левом рисунке).
Полученная трехмерная проекция четырехмерного куба представляет собой так называемый ромбододекаэдр. Он состоит из четырех конгруэнтных косоугольных параллелепипедов. Разбиение ромбододекаэдра на параллелепипеды можно осуществить двумя различ-
