Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Неванлинна Р. -> "Пространство, время и относительность" -> 33

Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.

Неванлинна Р. Пространство, время и относительность — М.: Мир, 1966. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvovremyaiotnositelnost1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 76 >> Следующая


Обратно, на каждой такой пространственной поверхности имеют место правила геометрии Бойяи и Лобачевского. Для существ, которые жили бы на таких поверхностях, неевклидова геометрия была бы «естественной».

Рассмотрение свойств таких пространственных поверхностей дает о природе неевклидовой геометрии еще более наглядное представление, чем модель Пуанкаре. В пространстве существует бесконечное множество поверхностей с постоянной отрицательной кривизной. Особенно простым примером поверхности такого рода является так называемая псевдосфера. Эта поверхность получается из кривой, называемой трактрисой, путем ее вращения вокруг оси х (см. рис. 19), Трактриса обладает следующим свойством: касательная к ней в любой ее точке пересекает ось х на постоянном расстоянии а от точки касания.

Подведем итог. На двумерных пространственных поверхностях, обладающих постоянной кривизной, имеет место элементарная евклидова геометрия, если

95
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО

кривизна равна нулю; элементарная неевклидова геометрия, если кривизна имеет постоянное отрицательное значение, и элементарная сферическая геометрия, если кривизна имеет постоянное положительное значение.

Уже один этот изящный результат показывает, насколько теория поверхностей, развитая Гауссом, расширила и обогатила наши знания о геометрической природе мира.

§ 12. Четырехмерная геометрия

Окружающее нас геометрически-физическое пространство трехмерно. Это свойство пространства и связанные с ним представления кажутся нам очевидным фактом. Некоторые практики не видят оснований искать в этом вопросе какую-либо особую проблему. Однако математики и философы уже в прошлом столетии занялись этим вопросом. В результате выяснилось, что элементарно-геометрическая структура ни в коем случае не связана с допущением, что пространство имеет именно три измерения. Аналитическая геометрия самым естественным образом открывает доступ к четырехмерной и многомерным евклидовым системам.

Такие многомерные геометрии рассматривались сначала только как теоретические построения, не имеющие с точки зрения эмпирической трактовки почти никакого значения. Однако на рубеже XIX и XX столетий выяснилось, что этим системам суждено играть в естествознании важную роль. Теория относительности рассматривает физическое событие — движение и покой тела — как геометрическое явление в четырехмерном пространстве с тремя пространственными измерениями

96
§ !2, 1IETbIPFXMEPMЛЯ ГЕОМЕТРИЯ

а четвертым временным измерением. Это представление является основой теории относительности Эйнштейна, и то обстоятельство, что математика к тому времени уже заложила глубокий фундамент теории четырехмерного пространства, было существенным условием для возникновения современной физики. Создание теории относительности является одним из замечательнейших примеров поразительного совпадения между идеальным миром, построенным человеческим мышлением, и эмпирическим миром. На этом основана возможность рационального восприятия действительности. Об этом единстве думали древние, когда говорили о «предначертанной гармонии» мира. Эту же мысль выражают слова Галилея: «Книга природы написана математическими знаками».

Прежде чем дать представление о геометрии четырехмерного пространства, целесообразно напомнить о некоторых геометрических свойствах трехмерного пространства и его частей с меньшим числом измерений, т. е. двумерных и одномерных геометрических образов.

Мы видели (стр. 83), что положение точки P в трехмерном пространстве определяется тремя числами: координатами Jf, у, z относительно заданной системы координат. В двумерном мире для определения положения точки достаточно двух координат. Для того чтобы естественным образом перейти от трех измерений к четырем, целесообразно, с одной стороны, установить, какие признаки трехмерной и двумерной геометрий являются общими, а с другой стороны, выяснить, чем эти геометрии отличаются одна от другой. Поэтому попытаемся проникнуть в мир представлений жителей воображаемого двумерного мира. Эти «поверхностные существа» привязаны к своему двумерному пространственному миру; представление о третьем измерении у них отсутствует. Им это измерение будет казаться столь же загадочным, как четвертое измерение для нас, живущих в трех измерениях.

Пусть «поверхностные существа» для определения положения точки P в своем мире (будем представлять этот мир в виде плоскости) пользуются прямоугольной системой координат К (рис. 20). Координаты точки P

97
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО

пусть будут Xi и х2. Расстояние г от начала коордннат до точки P определяется теоремой Пифагора:

г* = х\ + х\, (1)

а угол а между отрезком OP и осью X1 — формулами

cos а =

Xi

sin а =

X2

г г

Для второй точки P' аналогичным образом получаем

г2 I I2

г' =х[ -\-х'г

cos а

xI „/ »

sina

cos со = cos a' cos a -f sin a' sin а =

Угол ю = а' — а, заключенный между лучами OP и OP', вычисляется по формуле элементарной тригонометрии

______-vI-yI ~Ь X2х2

VX21+ х\У х[2 + Ж 22
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed