Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
На двух формулах (1) и (2) можно построить всю евклидову планиметрию.
хг
Однако в какой-нибудь день может случиться, что геометр воображаемого двумерного мира откроет третье измерение, хотя это новое измерение будет казаться жителям двумерного мира столь же загадочным, как четвертое измерение — жителям трехмерного пространства. Ho каким образом геометр двумерного мира мог бы открыть это загадочное измерение? Безусловно, не путем геометрического наблюдения, так как геометриче-
§ 12. ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ские восприятия и представления поверхностных существ неразрывно связаны с их двумерным миром. Однако геометр двумерного мира мог бы рассуждать следующим образом.
«Наши наглядно-геометрические наблюдения не могут навести на след третьего измерения. Ho, возможно, это удастся, если отказаться от естественных геометрических представлений и вместо этого обратиться к тому отображению геометрических понятий, которое содержится в аналитической геометрии. Правда, этому аналитическому толкованию не достает геометрической наглядности, тем не менее оно, являясь точным отображением нашего конкретного геометрического мира, одинаково с последним по структуре или изоморфно с ним»,
«Что показывает эта геометрическая картина? Прежде всего, что положение точки в нашем двумерном пространстве определяется двумя координатами. Следовательно, если трехмерный мир существует, то в аналитической геометрии, соответствующей этому миру, положение точки должно определяться тремя координатами X1, JC2, Хз, из которых две первые являются нашими обычными координатами, а третья представляет собой координату в новом, третьем измерении».
Пока все обстоит просто. Однако как обнаружить геометрические правила, действующие в наглядно не-представляемой трехмерной евклидовой геометрии? Ведь от того, что теперь положение точки определяется тремя числами Xi, х2, х3, еще ничего неизвестно о структурных правилах этой геометрической системы. На это геометр двумерного мира ответит:
«Конечно, наша геометрическая наглядность не может помочь обнаружить такие правила. Однако задача станет яснее, если мы попытаемся по возможности просто, при помощи понятной аналогии, обобщить двумерную аналитическую геометрию».
Такая аналогия очевидна. Законы двумерной аналитической геометрии могут быть подытожены двумя формулами (1) и (2), определяющими расстояние между двумя точками и угол между двумя прямыми. Для того чтобы перейти к трехмерной геометрии, достаточно сделать к этим формулам небольшое дополнение, обус-
99
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
ловленное новым измерением и соответствующей ему третьей координатой х3. Из структуры формул (1) и (2) сразу видно, что единственным естественным обобщением двумерной аналитической геометрии на трехмерную будет следующее:
Расстояние г между началом О системы координат и произвольной ТОЧКОЙ Р(хI, X2, X3) должно вычисляться, по аналогии с теоремой Пифагора, как корень квадратный из суммы квадратов координат, следовательно,
Таким же способом обобщается и формула для угла ш между прямыми OP и OP' \Р' = Р(х[, х'2, JcQ]:
Как только эти формулы установлены, вся трехмерная аналитическая геометрия в принципе построена. В самом деле, путем естественных заключений по аналогии можно построить полную аналитическую систему, используя для этого основные «метрические величины» (I') и (2') в точности так же, как это делается в двумерной геометрии при помощи формул (1) и (2).
Интуиция геометров из двумерного мира не обманула бы их, если бы они указанным способом создали трехмерную евклидову геометрию. Правила, которые они составили бы, были бы действительно точно такими же, как известные нам из нашей трехмерной геометрии '). Следовательно, указанным способом воображае-
l) С помощью рис. 16 (стр 83) мы может вычислить расстояние г = OP следующим образом. Пусть проекцией точки P на плоскость ху будет точка Р. Согласно теореме Пифагора, имеем
Ho этот результат совпадает с формулой (I'), выведенной геометром двумерного мира из формулы (1) путем заключений по аналогии!
T — ^/" JC2 -f- X2 -j- X^.
0')
COSCO —
X1X' + х2х'2
(OP)2 = X2 -j- if.
Далее, из прямоугольного треугольника OPP получаем (IОРУ = Г2 = (OP)2 + 22 = *2 + у2 + 22.
100
§ 12. ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
мые поверхностные существа могли бы построить трехмерную евклидову геометрию, причем с такой же точностью, как это сделал Евклид. Они могли бы говорить о геометрических соотношениях трехмерной пространственной геометрии настолько точно, что мы, слушая их, не подозревали бы, что у них полностью отсутствует возможность непосредственного наглядно-геометрического представления третьего измерения.
Неспециалисты по математике из двумерного мира, слушая такие разговоры своих геометров о третьем измерении, безусловно стали бы спрашивать их, нельзя ли пояснить эти соотношения наглядно, чтобы таким путем дать возможность видеть трехмерный мир непосредственно. На это геометры двумерного мира ответили бы следующим образом:
«Мы не можем связать трехмерный мир ни с каким непосредственным наглядно-геометрическим построением. Мы вынуждены ограничиться теми представлениями, которые связаны с аналитической геометрией, а эти представления качественно отличаются от знакомых нам геометрических образов. Если же, несмотря на это, мы захотим получить наглядное геометрическое представление о третьем измерении, то у нас не останется ничего другого, как судить о явлениях трехмерного мира по их двумерным проекциям. Для этой цели мы должны проектировать эти явления на наш двумерный мир».
