Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 18.
если поверхность в точке P пересекает свою касательную плоскость, имея в этой точке седлообразный вид (рис. 18,6). Наконец, если поверхность представляет собой плоскость или вблизи точки P ничтожно мало отклоняется от касательной плоскости в этой точке, то кривизна в точке P равна нулю ’).
Таким образом, эти наглядные понятия связаны с тем, что двумерная поверхность может быть изогнута в окружающем ее трехмерном пространстве. Вообразил! теперь, что на такой поверхности живут небольшие дву-
') Переход от понятия «кривизна в точке» к понятию «полная кривизна» области G поверхности (например, геодезического треугольника) совершается путем составления среднего арифметического. Разбивают область G на п частей с равными площадями. В каждой частичной области выбирают произвольную точку и определяют в ией кривизну. Для п областей получаются кривизны ku k2, kn. Наконец, составив среднее арифметическое
— (ky+ki+ ... +kn) и умножив его на площадь области G, получают приближенное значение полной кривизны области G, причем тем точнее, чем больше число п.
90
§ II. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
мерные живые существа, которые имеют возможность передвигаться на поверхности, но при этом ничего не знают об окружающем пространстве. Имея в своем распоряжении небольшие измерительные линейки, эти существа могли бы определить кратчайший путь между точками А и В (вдоль поверхности), т. е. геодезическую линию. Они могли бы измерить также углы в геодезическом треугольнике, следовательно, могли бы определить угловое отклонение этого треугольника.
Теперь из сформулированной выше теоремы Гаусса можно сделать примечательный вывод. В самом деле, согласно этой теореме угловое отклонение треугольника пропорционально полной кривизне треугольника, следовательно, воображаемые «поверхностные существа», ничего не зная об окружающем их пространстве, тем не менее могли бы по измеренному значению углового отклонения треугольника определить кривизну своего двумерного «поверхностного мира»!
Результаты, полученные Гауссом, имеют огромное общее значение. Они открыли перед геометрией неожиданные новые перспективы. В 1854 г. молодой Бернгард Риман (1826—1866) поразил гёттингенских математиков, среди которых находился также уже немолодой Гаусс, своим докладом «О гипотезах, лежащих в основании геометрии»1). Использовав гауссову теорию поверхностей, Риман указал пути построения «-мерной дифференциальной геометрии. Создание этой общей ри-мановой геометрии стало поворотным пунктом математического знания. Изложить здесь идеи Римана в сколько-нибудь доступной форме вряд ли возможно. Поэтому ниже, в § 1 главы V, мы ограничимся только самыми краткими указаниями о существе римановой геометрии.
') Поразительный по глубине заложенных в нем идеям доклад Римаиа настолько обогнал свое время, что не мог быть полностью оценен гёттингенскими математиками. (Исключением здесь являлся Гаусс, вполне подготовленный своими предшествующими работами к восприятию новых идей, — и действительно очевидцы отметили, что он ушел с доклада в глубокой задумчивости.) Огромное значение идей Римана для математики и физики раскрыли только А. Эйнштейн и Г. Вейль в 10-х годах нашего столетия,— Прим. ред.
91
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
Примечательно, что многомерная геометрия имеет фундаментальное значение также для современной физики. Специальную теорию относительности можно рассматривать в известной мере как «геометризацию» физического мира явлений, представляемого в виде евклидова четы'рехмерного мира с тремя координатами места и четвертой координатой времени. Общая же теория относительности (теория тяготения) Эйнштейна представляет собой «неевклидову» четырехмерную геометрию, в которой евклидово пространство специальной теории относительности заменено искривленным четырехмерным римановым пространством (см. § 2 гл. V).
Закончим этот параграф несколькими примерами, поясняющими гауссову теорию поверхностей. Вернемся к исходному пункту исследований Г аусса — к геометрии поверхности Земли. Будем рассматривать Землю как точный шар. Геодезическими линиями шара являются большие круги, плоскости которых проходят через центр Земли. Сумма углов геодезического треугольника, ограниченного дугами трех больших кругов, всегда больше 180°. Следовательно, угловое отклонение треугольника положительно и при этом, как и в геометрии Бойяи — Лобачевского, прямо пропорционально площади этого треугольника *).
Это совпадает с теоремой Гаусса. В самом деле, кривизна шара постоянна (равна квадрату обратного значения радиуса шара); поэтому полная кривизна геодезического треугольника G, согласно заключительному аамечанию в сноске на стр. 90, равна этой положительной постоянной кривизне, умноженной на площадь треугольника G, следовательно, прямо пропорциональна этой площади.
¦) Вообразим, например, геодезический треугольник G, вершина А которого расположена в северном полюсе, а вершины В и С лежат на экваторе в точках с доиготами O0 и а0. В таком треугольнике углы ShC равны 90°, а угол А равен а градусам; следовательно, угловое отклонение треугольника также равно а°. С другой стороны, очевидно, что площадь треугольника G равна полной площади северного полушария, умноженной на а°/360°. Таким образом, угловое отклонение треугольника G действительно пропорционально его площади.
