Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
92
§ П. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Далее, из теоремы Гаусса следует, что полная кривизна геодезического треугольника (определенная, согласно сказанному в сноске на стр. 90, некоторым процессом усреднения) при неограниченном уменьшении треугольника стремится к нулю. В пределе угловое отклонение треугольника исчезает, и поэтому на очень небольшой площади геометрия поверхности почти евклидова. Следовательно, на таких локально ограниченных частях поверхности наши «поверхностные существа» могут применять евклидову геометрию, не делая при этом сколько-нибудь заметных ошибок. Это вполне соответствует нашим естественным наглядным представлениям. В самом деле, небольшая окрестность поверхности в точке P почти совпадает с касательной плоскостью к поверхности в этой точке и притом тем точнее, чем меньше окрестность. Следовательно, свойства поверхности в непосредственной близости к точке P почти такие же, как у плоскости, т. е. евклидовы.
Соответственно этому поступаем и мы, жители земного шара, в нашей практике. Поверхность озера мы рассматриваем как плоскость и при поездке по озеру применяем правила плоской евклидовой геометрии. Отклонения от плоскости, обусловленные кривизной земного шара, столь малы, что их можно не учитывать. Однако ситуация изменяется при плавании по океану. На больших протяжениях геометрия сферы весьма существенно отличается от правил Евклида. Мореплаватель роковым образом ошибся бы, если бы вел свой корабль по правилам евклидовой геометрии.
Мы только что рассмотрели сферическую геометрию как частный случай гауссовой теории поверхностей. Однако сферическую геометрию можно построить также синтетически, путем прямой логической дедукции, исходя из системы аксиом так, как это делается в элементарной евклидовой или неевклидовой геометрии. Ho аксиомы связи будут теперь иными. Правда, первая аксиома: через две точки проходит точно одна прямая (причем «прямыми» будут большие круги), остается неизменной, HO с одним исключением. А именно, если две точки лежат одна от другой на наибольшем возможном расстоянии, т. е. на концах диаметра, то имеется беско-
93
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
нечно большое число соединяющих их «прямых» (больших кругов). В самом деле, через северный и южный полюсы можно провести бесконечно много меридианов. Параллельных же прямых на сфере не имеется совсем: два больших круга всегда пересекаются, причем даже в двух (диаметрально противоположных) точках.
Аксиомы порядка также изменяются. Большой круг представляет собой замкнутую линию, поэтому из трех точек на этом круге каждая лежит «между» двумя другими. Что-либо касающееся порядка можно высказать только о четырех точках; они образуют две пары, разделяющие одна другую.
Теория конгруэнтности остается такой же, как в евклидовой и неевклидовой геометрии.
Поверхность шара представляет собой замкнутую, конечную, но вместе с тем неограниченную поверхность. Этими глобальными свойствами она радикально отличается от евклидовой и неевклидовой плоскостей, которые обе бесконечны1).
Гауссова теория поверхностей решает также следующую проблему: имеются ли в трехмерном евклидовом пространстве наряду с плоскостями также другие двумерные поверхности, внутренняя геометрия которых евклидова?
Такие поверхности действительно существуют, причем даже в бесконечном числе. Они называются развертывающимися, так как их можно развернуть в плоскость, не разрывая и не растягивая2). Конические и цилиндрические поверхности, а также поверхности, образуемые касательной к пространственной кривой, когда эта касательная скользит вдоль кривой, являются развертывающимися поверхностями. Для этих поверхностей гауссова кривизна равна нулю. Евклидова природа их внутренней геометрии следует также из того,
') Согласно общей теории относительности Эйнштейна, наше мировое пространство, подобно поверхности шара, конечно и замкнуто (см. стр. 224).
2) Точнее, требуется, чтобы на плоскость можно было развернуть, не разрывая и не растягивая, достаточно малый кусок поверхности. — Прим. ред.
94
§11. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
что путем изгибания они могут быть изоморфно ото-' бражены на евклидову плоскость. При этом геодезические линии переходят в прямые на плоскости, а конгруэнтным фигурам на поверхности («отрезкам», «углам», «треугольникам» и т. д.) соответствуют в плоскости конгруэнтные евклидовы образы.
Наконец, возникает вопрос: существуют ли в пространстве поверхности, геометрия которых неевклидова в смысле Бойяи и Лобачевского?
Ответ на этот вопрос дает общая теорема Гаусса, упомянутая на стр. 89. В неевклидовом треугольнике сумма углов меньше 180°. Следовательно, угловое отклонение треугольника отрицательно-, согласно теоредое Гаусса, оно должно быть пропорционально полной кривизне треугольника. С другой стороны, угловое отклонение треугольника, согласно теореме, приведенной на стр. 89, равно площади треугольника (положительной), умноженной на отрицательную постоянную. Ho это означает (см. сноску на стр. 90), что поверхность в каждой своей точке имеет постоянную отрицательную кривизну.
