Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Неванлинна Р. -> "Пространство, время и относительность" -> 30

Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.

Неванлинна Р. Пространство, время и относительность — М.: Мир, 1966. — 231 c.
Скачать (прямая ссылка): prostranstvovremyaiotnositelnost1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 76 >> Следующая


Арифметическое толкование геометрии внесло значительную ясность также в вопросы логического обоснования геометрии. Теперь цепи геометрических доказательств могут быть прослежены также при помощи арифметических понятий. При помощи таких же заключений, как и на стр. 81—82 (где геометрия была пояснена на модели Пуанкаре), выясняется, что элементарная геометрия Евклида (а также неевклидова геометрия) непротиворечива, при условии что в системе ее арифметического отображения не имеется никаких внутренних противоречий. Разрешение вопроса о непротиворечивости геометрии передается таким образом совершенно другой науке: учению о числах — арифметике и анализу, их основным логическим проблемам. Этими основными проблемами арифметики занимается современная логика. В этом направлении уже многое достигнуто, но от окончательной ясности нас отделяет еще большое расстояние.

Переход к аналитической геометрии позволил также значительно расширить область геометрии. Аналитическая геометрия стала необходимой основой для создания геометрии многомерных пространств. Этим вопросом мы займемся в § 12.

§ 11. Геометрия поверхностей

В 1820 г. Гауссу была поручена важная практическая задача: произвести геодезическую съемку земли Ганновер. Следуя своей натуре, Гаусс при решении этой задачи не удовлетворился старыми, традиционными методами геодезии. Он углубился в порученную ему за-

87
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО

дачу, развил новые методы и стал новатором также в этой области.

Однако Гаусс не остановился на этой частной задаче. В геодезии исследуется форма Земли, для чего подлежащая измерению область покрывается сетью треугольников. По размерам и форме этих небольших треугольников, а также по их взаимному расположению определяются геометрические особенности всей сети треугольников, причем «глобально» (т. е. с точки зрения всей сети треугольников), а не только «локально» (т. е. с точки зрения отдельных треугольников).

Это навело Гаусса на мысль использовать ту же процедуру для изучения свойства любой поверхности в пространстве. В результате поисков Гаусс создал свою общую теорию поверхностей.

Важной задачей этой теории является исследование геодезических линий на двумерных поверхностях трехмерного евклидова пространства. Пусть на такой поверхности заданы две точки, А и В. Эти точки можно соединить одна с другой дугами различных кривых, целиком лежащих на поверхности. Поставим перед собой задачу найти среди таких дуг кратчайшую. Дугу AB, удовлетворяющую этому свойству минимальности, называют геодезической линией (для заданной поверхности). Такие линии с точки зрения геометрии рассматриваемой поверхности являются «прямыми» линиями. В самом деле, только что упомянутое свойство минимальности характеризует именно прямые линии как в евклидовой, так и в неевклидовой плоскости1).

Эта проблема минимальности в общем случае имеет только одно решение при условии, что заданные точки расположены не слишком далеко одна от другой. Если исключить последнюю возможность, то через две точки А и В проходит единственная «прямая» (геодезическая линия). Следовательно, при таком определении понятия

') Подобного рода задачи на отыскание экстремальных значений решаются методами вариационного исчисления — одной из наиболее важных областей приложения исчисления бесконечно малых. [Cm. по этому поводу популярную книгу Люстерник Л. А., Кратчайшие линии, М., Гостехиздат, 1Э55. — Прим. ред.]

88
§ 11. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

«прямая» на небольших участках поверхности имеет место аксиома связи 1 (см. стр. 46).

Вторая аксиома связи (аксиома параллельности евклидовой геометрии и соответственно антитеза этой аксиомы в неевклидовой геометрии) в общем случае («глобально») не имеет смысла. Ho в элементарной геометрии теория параллельных связывается с вопросом о сумме углов треугольника. Выше мы видели, что в системе Евклида аксиома параллельности логически

z

Рис. 17.

эквивалентна тому, что сумма углов треугольника равна в точности 180° (см. стр. 44). Последний вопрос можно исследовать на поверхности локально. В самом деле, углы «геодезического треугольника» ABC (рис. 17), т. е. треугольника, ограниченного дугами геодезических линий, можно измерить. Их сумма в общем случае не будет равна 180°. Однако отклонение этой суммы от 180° подчиняется общей закономерности, открытой Гауссом и сформулированной им в виде следующей изящной теоремы:

Угловое отклонение треугольника (т. е. величина, на которую сумма углов треугольника больше или меньше евклидова значения 180°) прямо пропорционально полной кривизне рассматриваемого треугольника.

Последняя величина, для которой в этой книге нет возможности дать точное математическое определение,

89
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО

обусловлена изогнутостью рассматриваемой поверхности относительно окружающего пространства. Чем больше эта изогнутость или искривленность, тем больше и «гауссова кривизна». Следует иметь в виду, что кривизне приписывается знак: либо плюс, либо минус. Если поверхность в окрестности своей точки P целиком лежит по одну сторону касательной плоскости, проведенной в точке P (рис. 18, a)v то кривизна считается положительной. Наоборот, кривизна будет отрицательной,
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 76 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed