Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
В случае если к геометрам двумерного мира было бы предъявлено требование продемонстрировать такие проекции, то они, возможно, выбрали бы для этой цели правильные многогранники, т. е. правильные тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр (рис. 21).
Аналитическая геометрия позволяет легко построить двумерные проекции этих многогранников. Полученные проекции изображены на рис. 21. Мы — трехмерные живые существа — легко воспринимаем эти фигуры как пространственные тела. В нашем представлении мы дополняем эти изображения в третьем измерении, направленным в глубину рисунка, и четко видим симметричное строение многогранников. Для двумерных существ эти изображения менее понятны. Для них отрезки пря-
101
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
мых линий на изображениях не дают непосредственного впечатления о симметричном строении правильных многогранников. Все же некоторое представление об этих пространственных образах двумерные существа получат.
Предыдущие мысленные эксперименты MbI выполнили с определенным намерением, которое, безусловно, уже стало Понятным читателю. Перейдем теперь от
Рис. 21.
воображаемого двумерного мира к нашему трехмерному пространству. Приведенные выше предварительные замечания сразу показывают, как следует предпринять переход от трех измерений к четырем.
И действительно, наши математики при построении четырехмерного пространства поступили в точности так же, как геометры воображаемого двумерного мира при построении трехмерного. Четырехмерная евклидова геометрия была развита на основе аналогий, смысл . ~о-
рых ясен из сравнения формул (1) и (2) с формулами (Г) и (2'). Для нашего наглядно-геометрического представления число измерений, равное трем, не может быть превзойдено. Однако в аналитической геометрии, в этом арифметическом отображении естественного геометрического мира, переход от трех к четырем измерениям совершается так же легко и естественно, как переход от двух к трем измерениям.
102
§ 12. ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В самом деле, по образу действия геометров двумерного мира мы можем рассуждать следующим образом.
В четырехмерном мире положение точки P в прямоугольной системе координат должно определяться четырьмя координатами Xi, х2, xs, Xi. Расстояние г между началом координат 0(х I = X2 = Xs=Xi = O) и точкой P (X1, х2, х3, Xi) и угол а> между отрезками OP и OP' [P'= P' (x'v х'2, Xry л:')] вычисляются, по аналогии с формулами (1), (2); (Г), (2'), по формулам
r2^x\^rxl + x\ + x\, (I")
rn.m= . хЛ+хЖ + хА + **** {Г)
YX2I + А + х\ + х\ У х[2 + Х2 + х'2 + XI
Подобно тому как на формулах (I') и (2') можно построить всю евклидову трехмерную геометрию, так и на формулах (I") и (2") можно построить всю евклидову четырехмерную геометрию. He требует пояснений, как аналогичным путем можно перейти к еще большему числу измерений и построить пяти-, шести- и еще более многомерные пространства.
Вычисления, необходимые для построения многомерных пространств, не требуют особо больших математических знаний. Для этого достаточно тех сведений, которые студент-математик получает на первом году обучения в высшей школе.
Читатель сейчас, возможно, заинтересуется, каков же вид четырехмерных геометрических объектов. Хотя мы не можем наглядно себе представить эти объекты, тем не менее они полностью могут быть выяснены посредством вычислений.
Из всего многообразия четырехмерных геометрических образов выберем опять—на этот раз четырехмерные— правильные тела. Эти тела ограничены не двумерными плоскостями, а трехмерными телами. Такими граничными телами являются уже знакомые нам правильные тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр. Они ограничивают некоторую часть таинственного четырехмерного пространства.
103
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО
В четырехмерном евклидовом пространстве имеется точно шесть правильных тел, а именно следующие:
Прежде всего имеется три тела, ограниченные п р а-вильными тетраэдрами. Во-первых, правильное тело с пятью граничными тетраэдрами; число вершин этого тела также равно пяти. Во-вторых, имеется тело, ограниченное 16 тетраэдрами и имеющее 8 вершин. Третье тело более сложное: оно ограничено 600 тетраэдрами и имеет 120 вершин.
Далее, существует одно четырехмерное тело, ограниченное 8 трехмерными кубами и имеющее 16 вершин. Это тело называется четырехмерным кубом.
Пятое четырехмерное правильное тело ограничено октаэдрами, число которых составляет 24; число вершин также равно 24.
Последнее, шестое правильное четырехмерное тело ограничено 120 правильными додекаэдрами и имеет 600 вершин.
Если задать вопрос, какие наглядные представления можно связать с этими телами, то ответ будет таким же, как у геометра из двумерного мира. Либо надо довольствоваться тем, что четырехмерное пространство аналитически исследовано с такой же полнотой, как и трехмерное, либо — если желательно как-то сблизить свойства четырехмерного пространства с обычными пространственными представлениями — прибегнуть к указанному выше методу проекций. Посредством центральной или параллельной проекции можно отобразить четырехмерное тело на трехмерное пространство. Полученные таким способом трехмерные изображения будут трехмерными телами, поддающимися наглядному восприятию.
