Пространство, время и относительность - Неванлинна Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ортогональные системы координат называются также декартовыми системами — по имени философа и математика Рене Декарта (Картезиуса, 1596—1650), впервые выполнившего рассмотренное выше отображение пространства в область чисел и создавшего таким путем аналитическую геометрию. С помощью заданной системы координат геометрия как бы переводится на «язык чисел». После того как на систему чисел отображены «точки», все остальные геометрические понятия также получают свои арифметические аналогии или «изображения».
Рассмотрим это соответствие также с точки зрения элементарно-геометрических основных объектов и основных отношений. Для простоты ограничимся геометрией на плоскости. Отображение точек P на пары чисел (JC1, .V2) будем выполнять при помощи прямоугольной системы координат.
Как мы знаем из средней школы, при таком отображении прямой I будет соответствовать уравнение первой степени
ах і —Ьх 2 с = 0.
84
§ 10. ОТОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА В ОБЛАСТЬ ЧИСЕЛ
Если «точка» (Jc1, х2) лежит на этой «прямой» I, то эго означает, что координаты (Jc1, JC2), будучи подставлены в уравнение прямой, удовлетворят ему, т. е. обращают выражение axi + bx2+c в нуль. Напротив, если «точка» (Jc1, х2) лежит вне прямой I, то выражение Cixl +Ьх2+с после подстановки в него координат (X1, .?) не будет равно нулю.
Для примера возьмем прямую
X1 — дг2 — 1=0,
т. е. положим а=1, 6 =— 1, с= —1. Точка ^=2, JC2=I лежит на прямой, так как JC1 — X2— 1=2— 1 — 1 равно нулю; точка же X1=I, X2=2 лежит вне прямой /, так как
1 — 2 — 1 равно —2, т. е. не равно нулю.
Несколько более абстрактно мы можем сформулировать сказанное выше следующим образом.
В заданной системе координат точкам евклидовой плоскости соответствуют пары чисел (JC1, х2). Прямым соответствуют уравнения первой степени или, правильнее, тройки чисел (а, Ь, с), так как каждая из таких троек определяет одно уравнение первой степени1).
Наконец, отношение связи «точка (х1( х2) лежит на прямой (а, Ь, с)» приобретает следующий арифметический смысл: «выражение axi + 6x2+c равно нулю». Если же это выражение отличается от нуля, то «точка (X1, х2) лежит вне прямой (а, Ь, с)».
Геометрические отношения порядка и конгруэнтности также имеют свои арифметические аналогии в аналитической геометрии. Например, конгруэнтность отрезков интерпретируется при помощи теоремы Пифагора следующим образом. Пусть точки А и В имеют координаты JCi = O1, jс2 = а2 и соответственно Xi = blt X2 = 62 (в заданной системе координат К). Тогда расстояние г между ними будет определяться гипотенузой AB треугольника ABC, имеющего катеты bі—at и b2—а2. Поэтому
1J Точнее, прямую определяют отношения «коэффициентов» а, Ь, с. В самом деле, два уравнения, коэффициенты которых пропорциональны, например х,+Зхз+1=0 и 2хi+6^+2=0, определяют одну и ту же прямую.
85
ГЛ. I, ПРОСТРАНСТВО
на основании теоремы Пифагора мы будем иметь r2 = (bi — а,)2 + (Ь2 — а2)2.
Далее, пусть А (Si, а2) и B(bu E2) —вторая пара точек. Для определения расстояния г между ними найдем из таких же соображений, как и выше, соотношение
г2 — (b\ — C]) -f-(62 — #2) •
Следовательно, отрезки AB и AB будут одинаковы по длине, т. е. г будет равно г, если
(by — axf + (р2 — Ct2)2 = (Pi — ^i)2 + (Ь-2 — а2)2.
Наоборот, если оба этщ _выражения не равны одно другому, то отрезки AB и AB не конгруэнтны.
Легко найти арифметические аналогии также для конгруэнтности углов. Наконец, естественное арифметическое толкование получают и основные отношения порядка. В самом деле, порядок точек на числовой прямой совпадает с порядком арифметических величин координат этих точек на числовой прямой.
Рассмотренным способом, посредством поясненного выше «словаря», вся евклидова геометрия отображается в область чисел. В качестве полной картины геометрии получается система аналитической геометрии, состоящая из «арифметических изображений» геометрических понятий. Обе эти системы изоморфны между собой.
Переход к аналитическому описанию геометрических понятий означает решительный поворот геометрического мышления, особенно в двух следующих отношениях.
1. Неточность и неопределенность понятий, свойственная эмпирической геометрии, благодаря арифметическому толкованию полностью исключается. В самом деле, является ли эмпирически заданная или наглядно представляемая прямая «действительно прямой линией», решить трудно. Иначе обстоит дело в аналитической геометрии: здесь соответствующий геометрическому явлению арифметический образ — тройка чисел (а,Ь,с) — является ясным и вполне различимым понятием, свободным от любой неоднозначности.
86
§ И. ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
2. Аналитическая геометрия вносит в геометрическое исследование совершенно новый метод. После соответствующей аналитической трактовки геометрии эта наука приобретает полноту и бесспорность, достигнутые в арифметике и в анализе, а вместе с тем — и новый метод исследования. Методы исчисления бесконечно малых проложили путь к дифференциальной геометрии, значительно углубившей наши геометрические знания и открывшей для геометрии совершенно новые перспективы.
