КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
H~T+T+q в н~т+г+<1-2 = Нт+т, поскольку Е - это дифференциальный оператор
второго порядка, и LJ1, рассмотренный как оператор из Нт+т ->• Н~т+Г,
имеет согласно (3.14) верхнюю грань, не зависящую от v. Таким образом, из
Us - хп+\ € H~T+r+q мы получаем не зависящие от v оценки для ||?/s+1 -
f/8||_T+r, иллюстрирующие снижение гладкости на q.
Далее зададим последовательность es такую, что
<г - е-к к - 4
?*-ы - ?в> з
(хотя можно взять любое число к € (1, 2)), и запасаемся достаточно малым
?о > 0- Положим
m = Aq, q = 2т + 2 (4.6)
Ns = с-'е-Ц(tm), N = с*?о-1/га (4.7)
с большой константой с* ^ 1. Наконец, зафиксируем целое к такое, что
fc = 2m+l, I = к + q. (4-8)
292 Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
В дальнейшем мы будем обозначать через с положительные константы, которые
зависят от j, т, г, М и |G|cr&, но не зависят от и и ?q.
(c) Лемма 4.1 Пусть функция U* удовлетворяет условиям (2.13), где а = -
т+m+q = 9т+10. Тогда существует константа с* > 0 такая, что функция U0,
определенная соотношениями (4.1), (4.7), обладает при достаточно малом е0
следующими свойствами:
(i) и0 - хп+1 е C°°(Td), дХп+1и° > (2М)-\
(и) \U° - tr|cl < с\\и° - и*\\т = О(ер0) < \.
(Ш) \\E(U°) - E(U*)\\T < |ео-
(iv) \\E(U°)\\T+k < се0\ А=|-1>1.
Здесь р > 0 и с - соответствующая константа.
Лемма 4.2. Пусть последовательность IIя определена рекурсивно из
соотношений (4.2) и (4.1). Далее предположим, что \\E(U°)\\T < ец. Тогда
Us остается в области определения функции G и удовлетворяет оценкам
(a) \\11я-и8-1^ <с'ев_1,
(b) \\US - Us~1\\-T+i < е~х, А=|-1,
(c) \\E(US)\\T < ?S
для всех s^l, для некоторого с' и достаточно малого ец.
Из лемм 4.1 и 4.2 мы сразу выводим, что IIя сходится в Нт к требуемому
решению U уравнения E(U) = 0. Действительно, эта последовательность
сходится в Нг для любого г, как будет показано в конце этого параграфа,
но сначала мы приведем доказательства этих двух лемм.
(d) Доказательство леммы 4.1. Очевидно, из определения S'jy следует, что
17° - xn+i ? C°°(Td) и в силу (2.24)
\\и° - и*\\т <: С1мТ-ч\\и* - Хп+1\\а <: c2N-<т+2) = 0(4Т+2)/т) -? о и
(i), (И) выполнены для р = (т + 2)/т и достаточно малого ?q.
§4. Доказательство теоремы 3 293
Чтобы проверить (iv), мы оценим
\\U° - хп+1\\_Т+1 "С c^Nl~T~a\\U* - ат"+1||в "С
^c4Nk~m ^c4c1-m?oX, (4.9)
поскольку I - т - а = I - q - m = k - m\ здесь мы использовали (2.24). В
силу (2.22) мы получаем
||?(770)||Т+А <7 Cb\G\Cr+u+2(l + \\U° - xn+1\\T+k+2).
Поскольку т + к + 2 = -т + q + к = -т + I, мы выводим
\\E(U°)\\T+k "С Сбе0-А.
Отметим, что Ь = т+к+2 = 17т+19, здесь Ь - константа из теоремы 3. Чтобы
проверить (iii), мы покажем сначала, что
||E(U°) - E(U*)\\T < c7\\U° - 77*||т+2, (4.10)
а затем, используя (2.24) и (4.7), получим
\\U° - U*\\T+2 = \\U° - 77*||_т+<г "С cbN~m\\U* - хп+1\\а <7 csc-ne0M.
Следовательно, если мы выберем с* так, что с(tm) ^ 2crCgM, то (iii)
выполняется.
Чтобы проверить (4.10), мы используем (2.23), где вместо / стоит первая
или вторая производная функции G в выражении Эйле-
2
ра-Лагранжа Е, вместо ip стоит (77° - хп+4, DU°, D 77°) и вместо ф стоит
(77* - xn+i, DU*, D 77*). Из (ii) мы заключаем, что ||77° - xn+i\\m ^ М +
^ с; следовательно, поскольку m > т + 2,
то
Н^Нт ^ ll^llm-2 7; 1177 - Хп4.\ ||ш $7 С,
поэтому (2.23) дает
\\E(U°) - E(U*)\\T "7 с|77|Сг+з||77° - 77*||т+2.
Это доказывает неравенство (4.10) с константой, зависящей от |С?|сгт+з, т
+ 3 $7 Ъ. Лемма (4.1) полностью доказана.
294
Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
(е) Доказательство леммы 4.2 будет проведено по индукции. Мы начнем с s
= 0, когда (а), (Ь) лишены смысла, а (с) удовлетворяет предположению.
Предположим теперь, что (а), (Ь), (с) выполнены для О, 1, ... , s, и
докажем это для s + 1.
Шаг 1. Чтобы показать, что U = Us остается в области определения, т.е.
удовлетворяет (4.4), мы выведем из (а), (Ь) и (2.16), что для О ^ г ^ I
IIUs - U'-'W-T+r "С (c'e8_1)1-r/'e7Ar/; <: ?s_l?s-(A+1)r/', (4.11)
здесь мы поглотили константу с', выбирая ?о (а значит и ?g) достаточно
малым. Если мы возьмем г = Зд, то из fc = Z - q < I, Х+1 = ^
следует,
что
' ' I ш I т (it 4 '
т. e.
||U'-U'-'W-r+s^e*, p> 0, (4.12')
и, следовательно, в силу (2.10)
\U' -U'-X\2q^cs"t,
поскольку -т + 3g - т = 2д + 2> 2 q. Поэтому
S
\US - u*\2q "с \u° - u*\2q + ? \ua - ua-%q <
(T=l
^ I + c f + ??o <V, (4.12")
er=1
если ?o достаточно малое. Поскольку 2g > 2, то очевидно, что (4.4)
выполнено при U = Us.
Из (Ь) и (4.9) мы находим
||?^S - Xn+l\\-T+l ^ ||?^° - Xn+l\\-T+l +
8 8 + 5] IIU° - U^W-r+i < С?о-а + ^ ^
(Т = 1 (Т = 1
Отсюда и из (2.22) вытекает
||?(f/s)||T+fc "С c|G|t+a+2(1 + ||f/s - xn+1\\.T+l) <1 ce;x.
295
(4.13)
\\US - х"+1\\к+1 <сЛ7(*-г).
(4.14)
Это следует из (4.11) при r = fc + l + T</, здесь мы воспользовались тем,
что
необходима оценка нормы ||С/° - x"+i||*+i, а она вытекает из (4.9) и
предполагаемой оценки (2.13):
||U0 - xn+i||0 ^ \\U* - xn+i||0 ^ М, а = -т + m+ q = 9т + 10.
