КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
(2сгА2)~1, мы можем переписать уравнение (3.13) как
П
?||ЗД1г + И1+"+1И1^
/1=1
< c'r{(Lip, ф)г + ||ЗД1о + и\\дХп+М\о) }•
Наконец, используя (3.8), мы можем заменить последнее слагаемое справа на
A2r^r~t') (Lip, ip)о и получить для г > t > (n + 1)/2
П
? ||ЗД? + v\\dXn+M\l < <p)r + ip)0}.
/1 = 1
В силу (3.9) левая часть больше, чем 7||^||?_т+г и, поскольку выполнено
{L(Pl Ф)г ^ 11 11 т -|- Т" 11 || - Т~\~Т 7
мы находим
71М1-Т+Г < C;{\\Lip\\l+r + A^/^iLip, ip)о}.
Наконец, наряду с (3.10) мы имеем
{Lip, ip)о ": ||^||Т|И1-Т "S 7_1||^||г-
Поэтому для всех ср Е #о°, v Е (0, 1) и любого положительного целого г
выполнены неравенства
IMI-T < 7"1||^llr, М\-т+г < cr{\\Lip\\T+r + Ar^\\Lip\\T},
(3.14)
где константа сг зависит от j, со, но не зависит от v и А.
Лемма 3.5. Пусть оператор L задан соотношением (3.5) и пусть выполнено
(3.7), (3.11), (3.12). Тогда для I/ ё (0, 1) и g ? H?°(Td) уравнение
Lip = g
имеет единственное решение ip ? H?°(Td), для которого выполнены не
зависящие от v оценки
IMI-r < 7"1|Ы1т, IMI-T+r < СГ{|Ы|.+Г + A'-/(r-t) Мг}.
§3. Нг -оценки для линеаризованного уравнения
289
(е) С помощью этой леммы мы можем доказать теорему 3, строя решение
уравнения E(U) = 0 из приближенного решения в некоторой не зависящей от v
окрестности. Основной шаг состоит в построении из приближенного решения U
? С°° с малой ||i?(t/)||T улучшенного решения U + V, где V определяется
следующим образом. Пусть W € H?°(Td) - единственное решение уравнения
LW = UXn+1E(U), (3.15)
где L определено как и в (3.2). Положим
V = SN(UXn+1W), (3.16)
где S'jv - срезка, описанная в конце §2, N - достаточно большое.
Чтобы увидеть, что U + V - улучшенное решение, нужно показать, что E(U+V)
меньше, чем E(U) в соответствующей норме. Детали будут приведены в § 4, а
здесь мы объясним идею доказательства. Выражение
E(U + V) - E(U) - E'(U)V
имеет второй порядок малости по V, а значит и по E(U), и мы должны
показать, что
E(U) + E'(U)V = E(U) + E'(U)(UXn+1W) + E'(U)(I - SN)(UXn+1W) мало. Для
этого мы используем равенства (3.2) и (3.15) и получим E'(U)(UXn+1W) =
W(dXn+1E) - U-^LW = W(dXn+1E) - E(U), поэтому
E(U) + E'(U)V = W(dXn+1E) + E'(U)(I - SN)(UXn+1W). (3.17)
Первое слагаемое справа квадратично зависит от Е, поскольку W можно
оценить линейно по Е. Второе слагаемое можно сделать малым с помощью
выбора N.
Здесь сглаживающий оператор Sn необходим, в силу снижения гладкости в
этом процессе. Если I, т - целые, I достаточно большое, то
Е : Н1~т Н1-т~2,
(3.18)
290 Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
так как Е - дифференциальный оператор второго порядка. Далее мы
рассматриваем Ь~г как оператор из Щ+г в Н^Т+Г, поскольку он ограничен
независимо от v ? (0, 1) (см. лемму 3.5); следовательно, для г = 1-2т-2
L~1UXn+1E(U): Hl~T -? Hl~q-T, (3.19)
где q = 2т + 2, характеризует снижение гладкости от U до (UXn+1W).
Подставляя Sjv и определяя V равенством (3.16), снова получим, что V ?
H°°(Td), но здесь нужно оценить ошибку. Это будет сделано в следующем
параграфе.
§ 4. Доказательство теоремы 3
(а) При доказательстве теоремы 3 мы используем построения и оценки
предыдущего параграфа. Сначала мы заменим заданное приближение U*, U* -
xn+i ? Ha(Td), гладкой функцией Ц°, определенной равенством
U0 - хп+1 = SN(U* - хп+1) ? H°°(Td), (4.1)
здесь N выбирается соответствующим образом. Далее мы строим
последовательность Us (s ^ 1) улучшенных приближенных решений по
рекурсивной формуле
Us+1 -U* = SNs ((dXn+1U*)W), W = L~1(dXn+1Ue)E(Us), (4.2)
где Ne будет выбрано позднее (см. (4.7)), a Ls - дифференциальный
оператор из (3.2) при U = Us. Впоследствии мы покажем, что
(.х, Us(х), DUs(x)) ? 11 для всех х ? Td, (4.3)
поэтому F(x, Us, DU8) определено, и последовательность U8 сходится к
точному решению U уравнения E(U) = 0, для которого выполнена требуемая не
зависящая от v оценка и для которого U - xn+i ? C°°(Td). На первом шаге
мы напомним, что
(ж, U*(x), DU*(x)) ? И для всех х ? Td
§4. Доказательство теоремы 3 291
и 12 предполагается открытым. Поэтому существует число R > 0 такое, что
шар радиуса R
Br(x, U*(x), DU*(x)) € 12 для всех х € Td.
Чтобы доказать (4.3), достаточно проверить, что
|U* - Vs |0 + |DU* - DUS|о < R.
Аналогично, чтобы установить, что dXn+1Us > (2М)-1, достаточно показать,
что \dXn+1(U* - Us)\ < (2М)~1. Другими словами, для положительного числа
0 < г] ^ min((2M)~1,c~1R) выполняется
\U* - US\C1 < V ирии = ив. (4.4)
Мы будем также требовать т] е, где е - заданное число из теоремы 3.
(Ь) Чтобы облегчить оценки, мы зафиксируем нормы. Для простоты мы
потребуем, чтобы т было целым и
(п+1) , ч
т > -^' (4-5)
чтобы || ||т мажорировала равномерную норму. Величина \\E(US)\\T окажется
не превосходящей es > 0, где es - быстро сходящаяся к нулю
последовательность. Вследствие вида оценок (3.14) для Ls, мы измеряем Е =
E(U) нормами Нт+Г (г = 0, 1,...), a Us+1 - Us - нормами Н~т+т. Снижение
гладкости определяется числом q = 2т+ 2; а именно, для г^0,Е переводит
