КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
поскольку a т + 1. Объединяя это с предыдущей оценкой, мы действительно
получим (4.14).
Шаг2. Теперь мы проверим неравенства (а), (Ь), где вместо s стоит s+ 1,
используя (4.2). Мы утверждаем, что W удовлетворяет неравенству
(•^ + 1)у < ^ + 1 - щ-
Следовательно,
S
\\US - и°\\к+1 <; Y,?<r-i?-k/m < ?-*/m+3/4 < h^k~T\
поскольку m > |т. Чтобы получить требуемое неравенство (4.14), нам
О
Для Л = (к - m)/m это приводит к неравенству
IIи0 - Xn+i||*+i ^ С?,
-Л(/е+1 - а)/{к - га) " - (/е+1 - а)
о - с110
< ch.
'О
-(к-т)
||1Т||_т+г ^ C?s/hrs для 0 ^ г ^ к.
(4.15)
296 Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
Достаточно проверить его для г = 0 или г = к. Из неравенства (3.14) мы
находим
\\W\\-T < c\\(dXn+1Us)E(Us)\\T "С c\\dx"+1U*\\T\\E(U')\\T "С cee,
поскольку в силу (4.12") первый множитель ограничен. В силу второго
неравенства из (3.14) для t = т, г = к мы находим
\\w\\-r+k "С c{W(dXn+1Us)E(Ue)\\T+k + Ak^\\E(Us)\\T},
где А -это верхняя грань коэффициентов (см. (3.11)). Используя (2.22) и
(4.14), мы можем оценить А как
А <С c|G|*+2(1 + ||Us - (r)B+1||*+1) "С ch^k~Tl
Поэтому наряду с (4.13) мы получаем неравенство
\\W\\-T+k "С c{\\E(Us)\\T+k + \\dXn+1Us\\T+ke8 + h~ke8} sC chjket.
Здесь мы использовали то, что при U = Us
\\дХп+1и\\т+к = \\l + dXn+1(U-хп+1)\\т+к <1 l+\\U-xn+1\\T+k+1 <1 c/hks.
Это доказывает (4.15). Аналогично мы находим
\\(dXn+1us)w\\
- т+А ^
/hks, (4.16)
и, следовательно, из (4.2) и (2.24)
||f/s+1 - и'\\-т+1 < Ntce-1 = |,
поскольку Ns ^ ^7+1 в силу (4.7). Правую часть можно оценить числом
§4. Доказательство теоремы 3 297
Отсюда вытекает (Ь). Чтобы доказать (а), мы используем (2.21) при t =т,
получим
\\ue+1 - ие\\-т "с \\{dXn+1us)w\\-T <: \\dXn+1us\\T\\w\\-T < C?s.
Здесь мы воспользовались (4.15) для г = 0.
Шаг 3. Остается доказать (с) для s + 1 вместо s. Мы запишем V = = Us+1 -
Us и используем неравенство
\\E(U'+1) - E(US) - E'(US)V\\T "С c||F||2t+2.
Тогда
\\V\\T+2 = ll^ll-r+g < N*\\(dXn + 1U)W\\-T "С CC-^+V-
Поскольку
m = 4q=
мы имеем
{h~h ?sf = ?s+l, и, выбирая с* достаточно большим, мы получаем
\\E(US+1) - E(US) - E'(US)V\\T < c||F||2+2 < |es+1.
Чтобы оценить оставшиеся члены, мы используем (3.17) и получим
\\E(US+1)\\T < \\WdXn+1E(Us)\\T + \\E'{US)(I - SNa)(UsXn+1W)\\T + ?-^.
При оценке первого слагаемого используем неравенство (4.13) при г = 1 и
(4.15) при г = 2т:
\\WdXn+1E(Us)\\r < \\W\\T\\E(U*)\\T+1 <: с
е+1'
е2
Этот член мажорируется числом -< ?s+i, поскольку 2q > 2т + 1,
tig
и поэтому его можно сделать меньше чем ъ Для последнего слагаемого мы
находим
71//T7-S
S'(tfe)H - 5дг.)(1/"п+1 W)||r "С с||(/ - 5дг.)(1/*п+1^)||т+2 "С
II _ , , rhk~?
hk
"С cN~k+q11f7^n+1 W||-т+fc <
298
Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
Здесь мы воспользовались (4.16). Поскольку в силу (4.6) и (4.8)
к > т н = т + 4я = 2т
к - 1
или (к - т)(к - 1) > щ, мы находим, что
->• 0 при е ->• О
hk~q п8+1 ?s
hk es+i
?s +1
слеп atnviutJ меньше, чем
\\E(US+1)\\T sC c(t^+I + + \?s+1 < ?s+1'
и мы можем сделать последнее слагаемое меньше, чем -, поэтому
^f+1 8+1 hks-
это завершает индукцию.
(f) Чтобы доказать теорему 3, предположим, что ?о выбрано столь
малым, что выполнены леммы 4.1 и 4.2. Если мы положим в
теореме 3
8 = то из (2.14) и леммы 4.1 (iii) будет следовать, что
\\E(U°)\\T < \\E(U*)\\T + |?о < 5 + Ц < ?",
так что предположение леммы 4.2 выполняется. Таким образом, мы получаем
последовательность Us, которая в силу (4.12') сходится в H~T+3q С С2 к
элементу U. Поскольку E(US) ->• E(U), мы находим из леммы 4.2 (с), что
E(U) = 0, т.е. U есть требуемое решение. Наконец, из (4.12') и леммы 4.1
(и) мы находим
| и-и*\сг <:c\\u -U*\\-T+3g <Т]^?,
где е - это заранее заданное число из теоремы 3. Это доказывает (2.15).
Условие малости на во = 28 зависит от |С?|сгь, где Ъ = т + к + 2, т.е. Ъ
= = т + 2т + 3 = 17т + 19.
(g) Таким образом, доказательство теоремы 3 установлено, за исключением
доказательства гладкости и оценок для производных высших порядков. Дело в
том, что здесь мы больше не накладываем условий малости на \\E(U*)\\T, а
находим оценки для \\U - хп+\\\-Т+г, которые не зависят от v ? (0, 1). Мы
используем описанную выше последовательность Us и покажем, что она
сходится в Н~т+Г для любого г. Здесь мы следуем подходу, предложенному в
[24].
§4. Доказательство теоремы 3 299
Зафиксируем е0 и используем последовательность es = к = |
так же, как и раньше. Определим Ns, N по формуле (4.7). Через С мы
обозначаем константы, зависящие от упомянутых констант, от F и г, но не
зависящие от v и s. Тем не менее, константы к и I = к + q будут иметь
отличный смысл от того, который был ранее, и к будет выбрано столь
большим, что
if <-=I- (4Л7)
Лемма 4.3. Если Us - построенная выше последовательность и I = k + q, где
к удовлетворяет условию (4.17), то существует константа С такая, что
||t/s -xn+1\\-T+l "С Се~4/3.
Здесь С зависит от I, но не зависит от v € (0, 1) и s.
Перед тем, как доказать эту лемму, мы покажем, что из нее вытекает, что
