Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 98

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 136 >> Следующая

(6)
314 Лагранжево доказательство теоремы об инвариантной кривой
Рис. 2. Схематическое изображение области определения h
Пусть щ(в) - в ? Wr при некоторых 0 < г < 1. Будем считать, кроме того,
что
(и0, Uq) е I Im0l < Г'
(7)
так что (и0, и+) обязательно принадлежит области определения h, рис. 2, и
что при некотором No > 0 (достаточно большом)
|(uo)e|r < No, |(uo)g |г < N0.
(8)
Теорема 6 (Основная теорема). Предположим, что из диофантово, т. е.
существуют К > 0 и а > 0 такие, что
к
~2+<т
для любых целых р, q ф 0.
(9)
Предположим, что h и щ удовлетворяют приведенным условиям. Тогда
существует ё = S(r, h, М, N0, К, а, к) такое, что если |S(uo)|r < ё, то
найдется единственное решение и вблизи щ уравнения Е{и) = 0, для которого
и(в) - в ? Wr/2 и среднее значение и(в) - в равно нулю.
Применение к почти интегрируемому закручивающему отображению. Рассмотрим
малое возмущение линейного закручи-
§4. Гомологическое уравнение
315
вающего отображения:
Ж2 = Хх + 2/1 +e/(xi, Ух, е)
2/2 = 2/1 + ?^(ж1, 2/i, е),
которое считается сохраняющим площадь и точным. Отображение задается
производящей функцией h(xi, ж2) = |(ж2 - xi)2 + еН(х 1, ж2, е), которая
считается определенной на @ = {(xi, ж2): а < Re(x2 - xi) < b, | Imxi| <
1, | Imx2| < 1}. Для того чтобы применить основную теорему, выберем
диофантово а < и> < b и примем и0(в) = в. Легко проверить условия (5)-
(8), вместе с \Е(щ)\г = 0(e). Теорема 6 дает инвариантную кривую в кольце
а < у <Ь при условии, что е достаточно мало.
Замечание 7. Важно заметить, что предположение о малости |1?("о)|г-<<5 в
основной теореме более общее, чем стандартное предположение о почти
интегрируемости, требующее, чтобы отображение имело вид (10).
§ 4. Гомологическое уравнение
Будем искать решение уравнения Е(и) = 0 с помощью модификации метода
ньютоновских итераций, начиная с uq. Вводя поправку и = и + v к и,
запишем
Е(и + v) = Е(и) + E'(u)v + Q,
где Q - остаток и
E'(u)v = (hn + h,22)v + hi2v+ + hy.2v~. (11)
Первая мысль - избавиться от линейных членов:
E'(u)v = -Е(и), (12)
чтобы сделать Е(и + v) квадратично малым по сравнению с Е(и). Это
лежит в основе метода итераций Ньютона. Однако уравнение (12)
слож-
но решить. К счастью, избавляться от линейных членов не обязательно:
будет достаточно сделать их квадратично малыми. Для того чтобы точно
определить, как модифицировать уравнение (12), умножим обе части
уравнения на ив и выделим квадратично малые слагаемые
316 Лагранжево доказательство теоремы об инвариантной кривой
v-j^E(u) = vE'(u)ue из левой части. В результате получим гомологи-ас/
ческое уравнение, уже не эквивалентное (12):
ueE'(u)v - vE'(u)ug = -ugE(u). (13)
После того как v определено из этого уравнения, Е(и + v) все еще
оказывается квадратично малым по сравнению с Е(и), как мы увидим позднее,
но сначала покажем, как решается уравнение (13). Заметим, что
ugE'(u)v - vE'(u)ug = hi2(ugv+ - u^v) + h^2(ugv~ - Щ v); вводя новую
неизвестную w = перепишем это выражение в виде hizUgUg (w+ - w) -
hi2UgUg(w - w~) = V*(hi2Ugu^'Vw),
где
v/(0) = f(e + Ш)- m, V7(9) = № - f{9 - w).
Итак, мы преобразовали (13) в
V*(hi2Ugu^'Vw) = -ugE(u). (14)
Ньютоновский шаг определяется следующим образом. Задавая и, находим w из
гомологического уравнения (14) и положим
u = u + v, v = ugw. (15)
В следующих разделах будет показано, что при соответствующем выборе
областей определения и констант повторные итерации этого шага сходятся к
решению рассматриваемого уравнения Е(и) = 0.
Набросок доказательства основной теоремы. Мы покажем, что один шаг (15)
дает новую погрешность, квадратичную по отношению к предыдущей, как и
ожидается по аналогии с ньютоновским шагом: \Е(и)\р ~ \Е(и)\г/(г
- р)4т. Это сделано в разделе 6. Улучшенный
метод Ньютона, однако, сталкивается с проблемой малых знаменателей,
вследствие малых делителей. В разделе 7 будет показано, что этот шаг
можно повторять бесконечное число раз, и сходимость достигается при
надлежащем выборе параметров. В следующем разделе 5 изучается
гомологическое уравнение.
§5. Решение гомологического уравнения
317
Эвристическое соображение. В данном подходе существен приведенный прием
записи подправленных членов в виде щио. Это можно мотивировать тем, что в
случае, когда и уже является решением уравнения Е(и) = 0, оператор Е'(и)
имеет нулевые решения, кратные ив- Таким образом, полагая v = ugw,
получим, что соответствующий оператор имеет в качестве нулевых решений
константы ("вариация произвольных постоянных"). Кроме того, поскольку
оператор Е' симметричен, то оператор иеЕ'(и)ие также симметричен, поэтому
его сопряженный оператор тоже содержит константы в своем пространстве
нулевых значений, что следует из формулы щЕ'{u)ugw = (V*aV)w (с а =
hi2Ueu^). Следовательно, область значений этого оператора содержит только
функции с нулевым средним значением, и уравнение (4) возникает как
необходимое условие совместности для разрешимости уравнения (14).
§ 5. Решение гомологического уравнения
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed