Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 97

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 136 >> Следующая

В отличие от первоначального "гамильтонового" подхода, где инвариантную
кривую ищут в фазовом пространстве, представленный ла-гранжев подход
основан на сведении задачи поиска инвариантной кривой к решению
некоторого нелинейного разностного уравнения второго порядка в
конфигурационном пространстве. Этот подход аналогичен доказательству
родственной теоремы для эллиптических дифференциальных уравнений в
частных производных [9], где он необходим, поскольку техника канонических
преобразований не применима для дифференциальных уравнений в частных
производных. В нашем случае условия инвариантности рассматриваемой кривой
для отображения приводит к нелинейному разностному уравнению второго
порядка, которое будет получено во втором разделе и решено в последующих.
Рассмотрим сохраняющее площадь закручивающее отображение р: Ж2 -> Ж2 на
плоскости, накрывающей цилиндр Ж( mod 1) х Ж. Положим, что ip: (a?i, yi)
-> (х2, "/г) имеет производящую функцию h:
/ц(жь х2) = -г/ь h2(x 1, х2) = У2•
Здесь /ii, /&2 - производные по первому или второму аргументу функции h.
Аналогично будем обозначать вторые производные через /in,
1 Отрывок из неопубликованного конспекта М. Леви курса, прочитанного
Мозером
в ETH-Ziirich в июне 1986 года. (Перевод А. В. Борисова.)
У
§2. Сведение к разностному уравнению
311
Рис. 1. Инвариантная кривая
Л.12, /^22• Следующая теорема дает достаточное условие, при котором
отображение задается соотношениями (1).
Теорема 1. Любое гладкое закручивающее отображение цилиндра (р,
удовлетворяющее условию монотонности закручивания > О,
оу 1
имеет производящую функцию h такую, что отображение неявно задается
соотношениями (1). Более того, данное отображение является
точным: J ydx = J у dx, где j - произвольная гладкая нестягиваемая
?>7 7
окружность на цилиндре, если и только если h(xi + l, жг + 1) = h(xi, хф)
и h\2 < 0.
§ 2. Сведение к разностному уравнению
Существование инвариантной кривой эквивалентно дифференциальному
уравнению второго порядка; это главное положение данного раздела.
Рассмотрим замкнутую кривую, охватывающую цилиндр и заданную
параметрически в виде х = и{в), у = v(9) на накрывающей цилиндр (ж, у)-
плоскости, где и(в) - в и v(9) - периодические функции с периодом 1, рис.
1.
312 Лагранжево доказательство теоремы об инвариантной кривой
Найдем инвариантную кривую, удовлетворяющую условию инвариантности
<p(w(0)) = w(e + w), (2)
с заданным числом вращения из. Кроме того, предполагается, что и строго
монотонна по в. Согласно условию (2) действие отображения <р к кривой
сопряжено с поворотом на из.
Приведем лагранжеву формулировку условия инвариантности (2) как
аналогичную соответствующей в теории Мезера.
Теорема 2. Кривая w(6) = (и(в), v(6)) удовлетворяет условию
инвариантности (2) при отображении <р, определяемом соотношениями (1),
если и только если горизонтальная функция и{в) удовлетворяет разностному
уравнению второго порядка
Е(и(в)) = hi(u(6), и(в + из)) + Ь,2(и(в - из), и(в)) = 0. (3)
Для доказательства теоремы сдвинем в на -из во втором уравнении системы
(1) и сложим с первым уравнением в (1).
Таким образом, гамильтонова задача определения w(6) свелась к уравнению
Лагранжа на единственную функцию и(в). Определив таким образом и(в),
находим v = v(6) по формуле v = -h\(u, и+); здесь и далее используются
сокращения и+ = и(в + из), и~ = и(в - из).
Замечание 3. Уравнение (3) представляет собой вариационное урав-
1
нение Эйлера-Лагранжа для вариационной задачи <5 J h(u,u+)d6=0 (вариа-
о
ционный принцип Персиваля).
Замечание 4. Среднее значение ивЕ(и) равно нулю:
1
У uoE(u)de = 0, (4)
о 1
к" следует "е ин,.р".нтнос," л.гр.""".н. "+)" "р" сдеит.х "" *
О
и{6) -У и{6 + с) или из тождества
д + -
ивЕ(и) = и ) - V(ueh2(u , и)),
где V/ = /(0 + и;) - f(0)- Искомый результат получается его
интегрированием.
§ 3. Основная теорема 313
Пример 5. Рассмотрим стандартное отображение
Х2 = XI + 2/1 + S'(x i),
"/2="/i + S'(x i)
и производящую функцию
h(xi, ж2) = ^(ж! - ж2)2 + S'(xi),
где функция S имеет период 1. Тогда уравнение (3) принимает вид и(в + ш)
- 2и(в) + и(в - из) = S'(u(6)).
§ 3. Основная теорема
Излагаемая здесь теорема об инвариантной кривой является, по существу,
теоремой о неявной функции, утверждающей, что в окрестности приближенного
решения Е(и0) яз 0 существует точное решение: Е(и) = 0, в частности, при
условии, что ш диофантово.
Обозначения. Пусть Wr - множество 1-периодических вещественно-
аналитических функций в, ограниченных в полосе |1т0| ^ г. Введем
максимальную норму
\f\r = SUP |/(0)|.
|1тв|<г
Предположения. Положим, что h аналитична при (ат, ж2) ? ? @ С С2,
действительна на (ат, ж2) и инвариантна при трансляциях, упомянутых в
теореме 1. Для R > 0 пусть @д С @ обозначает наибольшее множество, чья Л-
окрестность лежит в @, рис. 2. Таким образом, точки в Эд обязательно
содержатся в Положим, что
min\hi2 \ > к, к > 0, (5)
(c)
и существует М > 0 такое, что
1^1 с3(@) < М.
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed