КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Us сходится в Н~Т+Г для любого г, откуда будет следовать,
что U = lim^oo Us принадлежит С°°. Положим I = Зг и выберем г
столь большим, что к = Зг - q удовлетворяет (4.17). Тогда
IIUs+1 - Us\\.T+l "С IIUs+1 - xn+1\\.T+l + ||t/8 - xn+1\\.T+l sC 2C?-+[*.
С другой стороны, по лемме 4.2 (а) мы имеем
||f/S + 1 - US\\-T ^ c'Sg, и поэтому в силу интерполяции
IIUs+1 - и*||_т+г < (с'е.)2/3(2Се7Д/3)1/3 = С'еР, р=±
Отсюда следует, что Vs сходится в Н~т+Г к U и
ОО
\\U-U°\\-T+r<C'YiePs = C".
8-0
Поскольку выполнено также неравенство
||U0 - a:B+i||_T+r < Nr-m-"\\U* - хп+1\\а </ С", (4.18)
300 Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе мы выводим, что
| U Жп_|_1 11 _т-|_г Сг
для некоторой константы С = Сг и U - xn+i € С°°. Это полностью доказывает
(2.15) и теорему 3.
Остается доказать лемму 4.3. Мы положим
М8 = ||Us - хп+1\\-T+i
и получим рекурсивную оценку из (4.2):
Ms+1 ^М8 + \\US+1 - UsW-T+l < М8 + N*\\(dXn+1Us)W\\-T+k.
Применив основное неравенство (3.14) к <p=W и LW=(dXn+1Us)E(Us), мы
получим
M8+1^M8 + cNn\\(dXn+1Us)E(Us)\\T+k + Ak^k-^\\E(Us)\\T}.
Теперь мы используем неравенства
\\dXn+1U'\\T+k ^ 1 + ||f/s - xn+i\\T+j.+i ^ 1 + Mg, А <: С(1 + \\US -
хп+1\\к+2) <: С( 1 + М8),
поэтому для а, определенного как и в (4.17), выполнено
М8+1 "С М8 + Civ"{(l + м8) + (1 + М8уе8}.
Положим, что М8 ^ 1 и мы можем упростить это неравенство:
М8+1 <С CN"(MS + m;?s). (4.19)
Анализируя это неравенство, мы получим утверждение леммы 4.3.
В силу того, что es ^ 1, мы получаем
Ms+i < 2CNq8M°.
Если Л - любое число, большее чем q/(n - а), то существует С = С\ такое,
что
М8 "С CN* <С Се~+[т.
Поскольку ----- Щ-q = Щтп, показатель > Щ, и если мы выбе-
(к - сг) 4 16 1П 16
рем Л € т)> то
М8 <: Се-^ = Се;4/3. (4.20)
§5. Теорема единственности
301
§ 5. Теорема единственности
(а) В этом параграфе мы установим свойство локальной единственности для
решений уравнения E(U) = 0 при v = 0. Для v > 0 это следует из
эллиптического типа уравнений и их инвариантности относительно сдвига
xn+i xn+i + А (см. теорему 2 § 2).
В дальнейшем мы полагаем, что решение U удовлетворяет условиям и - xn+i е
н~Т+2<1+1 и
||С/-Жп+1||_т+29+1 <М, дХп+1и>М~\ (5.1)
Для некоторой положительной константы М, здесь снова т > |(n + 1) и q =
2т + 2. Теперь мы имеем следующий результат о локальной единственности.
Теорема 4. Пусть а удовлетворяет условию (1.9). Тогда существует
положительная константа е*, зависящая от М и от границ для |а|, \F\c2, 7,
т, обладающая свойством: если U удовлетворяет (5.1) и если функции U и U
6 Н~Т+2д являются решениями
E{U) = 0, E(U) = 0 при v = 0
и удовлетворяют
\\U ~ U\\-T+2q < ?*,
то
U(x, хп+х + Л) = U(x)
для некоторого Л 6 R.
Эта теорема имеет несколько следствий для решения U = U(x, v) уравнения
IS^t/) = 0. Поскольку U(х+ Л en+i, v) - это также решения, удобно будет
нормировать решения, потребовав, чтобы
[U - хп+1] = 0. (5.2)
Если U = U(x, v) - это решение, построенное в теореме 3 для v ? [0, v*] и
нормированное соотношением (5.2), то оно единственно, если число ? в
(2.15) выбрано достаточно малым. Для v > 0 это следует из теоремы 2, а
для v = 0 из теорема 4. Из единственности и ограниченности функции
U = U(x, и) G H~T+q
302
Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
мы заключаем, что U непрерывна по v, т. е.
U(-,h) G С7([0, i'*], Н~Т+Я).
Наконец, мы получаем результат о регулярности. Если приближенное решение
{7* из теоремы 1 действительно является решением уравнения
E(U*) = 0 при v = 0,
то из теоремы единственности мы выводим, что решение U, U - - xn+i 6 С°°,
построенное в теореме 3, совпадает при v = 0 с U*. Следовательно, мы
видим, что решение, удовлетворяющее (2.13), необходимо принадлежит С°°.
Хотелось бы и было бы более естественным получить этот результат о
регулярности и не зависящие от v оценки в теореме 3 непосредственно из
основных оценок (3.10) и (3.13), примененных к решениям U = U(x, v), без
дополнительного вспомогательного построения приближений Us. Тем не менее,
нам не удалось это сделать.
(Ь) Доказательство теоремы 4 основывается на следующей простой лемме.
Лемма 5.1. Пусть г < s < t - действительные числа, ip 6 Н1 и
IMIt < а
для некоторой константы с. Если t t* = 2s - г, а ^ а* = с-1, то р = 0 и
константы t*, а* неулучшаемые.
Доказательство. Поскольку по предположению s ^ i(t + Г), ТО для р ф 0 из
(2.16) вытекает, что
IMI" ^ IMItlMIr < а|И|г,
следовательно,
IMIr < ас\\р\\г,
а это противоречит тому, что ас ^ 1.
Можно видеть, что параметры t*, а* неулучшаемы, если взять d = 1 и для
большого положительного целого j положить
p = c~1(l+j2)-t'/2e2lrijx.
Если t < t* либо t = t*, а > с-1, то для этой функции выполнены оба
предположения, но р ф 0.
§5. Теорема единственности 303
Доказательство теоремы 4. Мы положим V(x, A) =U(x + Ае"+1) - U(x), W(x,
А) = (д^Г^х, А) и определим А = А* так, чтобы среднее значение
/(A) = [W] = J W(x, A) dx
обращалось в ноль при А = Л*. Чтобы показать единственность А* и найти
