КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
оценку для него, мы заметим, что
^ = [(dXn+1U) 1(dXn+1U(x+ Aen+i))] > сг 1
для некоторой константы ci, зависящей от М. Действительно, поскольку
о < дХп+1и ^ 1 + \\и - хп+1\\Т+± ^ с2,
ограничено такой константой и если е* достаточно мало, мы выводим из
предположения теоремы 4, что
IдХп+1ф - U)I "С IIи - и\\Т+1 ^ с'е* < (2М)-\
следовательно, dXn+1U > (2М)-1 и
| S (Шс,)- = сГ'.
Из этой оценки следует существование единственного нуля А* функции /,
удовлетворяющего неравенству
|А*| ^ Cl|/(0)| "С ClM\\U - U\\o < С1Ме*.
Отсюда мы получаем оценку для V = V(x, А*)
ITII-r+24 < С3?*. (5.3)
Это следует из
r+2q ^ |\(U') 1(U(x + A*en+i) - U{x-\- A*en+i))||_т_|_29 +
+ |HUT1 (U(x + A*en+1) - U(x)) ||_т+29.
304 Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
Первое слагаемое меньше с'е* по предположению и в силу того, что
\\(U')~1\\-T+2q < cM~T+2q+2\\U'\\-T+2q ^ с\
Здесь мы воспользовались (2.22) для f((p) = у>-1. Второе слагаемое наряду
с (5.1) можно оценить выражением
л
с
/ дх"+г U(x + X en+i) dX
о
^ с'|Л*|||С/ - ж"+1 К-T+29+i ^ с'МХ*,
-T+2q
откуда следует (5.3).
Таким образом, функция W = W(x А*) имеет нулевое среднее значение, и мы
должны показать, что V = V(x, X*) или, что эквивалентно, W обращается в
нуль, если е* выбрано достаточно малым. Для этого мы используем тот факт,
что
\\E'{U)V\\T = ||E(U + V)~ E(U) - E'(U)V||T ^ c4||F||2+2,
поскольку E(U) = 0 и E(U 4- V) = 0. С другой стороны, равенство (3.2)
дает
UfEf(U)V = -LW, где Ul = дХп+111,
поэтому
c^WLWWr sC \\(U')-1LW\\T = \\E'(U)V\\T < c4||F||2+2.
Наконец, основная оценка (3.14), которая выполнена и при v = 0 дает |_т
"С Сб||^||_т "С C7||W||T "С c4c5cr\\V\\2T+2.
Здесь мы воспользовались тем, что среднее значение W равно нулю. Теперь
мы можем применить лемму 5.1 для г = -т, s = т + 2 = - т + q, t = -т + 2q
и вывести, что V = 0, если только ||F||_T+29 достаточно мало; это
доказывает теорему 4.
§ 6. Квазипериодический случай
(а) Мы выведем простое обобщение полученных выше результатов для
подынтегральных функций F = F(x, и, р) квазипериодических
§6. Квазипериодический случай 305
по ж и периодических по и. Проиллюстрируем утверждение на примере
п
Д u-Xf{x,u), Д = ?Х' (6.1)
д=1
где / = /(ж, и) определяется с помощью периодической функции Ф = Ф(^1,
... , ?,к, и) равенством
/(ж, и) = Ф((^1, ж), (ш2, х), , (шк, х), и),
п
Ф е С°°(ТК+1), (uk,x) = J2"kflxfl, к = 1,2,..., К.
д=1
Это означает, что / квазипериодическая по жд с базисом частот
^Ад(& = 1; 2, . . . , К)
и периодическая по и с периодом 1. Мы ищем решения и = и(ж) уравнения
(6.1), для которых функция e2wtu квазипериодическая по ж и и-
- (а, ж) ограничена для некоторого заданного а 6 Ж(tm). Мы будем просто
называть такие решения квазипериодическими, хотя они линейно растут.
Более того, мы требуем, чтобы эти решения и допускали представление в
терминах функции U = U(?), ?, = (?i, ••• > ?rt+i) € M^+1
такой, что
U(l) - 6f+i е C°°(TK+1), ды+1и> 0, (6.2)
в виде
и(ж) = U о Г2(ж), (6-3)
где О: Ж(tm) -" Жк+1 - линейное отображение, заданное как ж -> Г2(ж) = ?,
П
= '52шкцХц, к = 1, 2, ... , К + 1, (6.4)
Д=1
^К-\- 1,д -
так что ^к+1 = (а, ж). Таким образом, функция
и{х) - {а, х) = (U - 6f+i) ° Щх) квазипериодическая в требуемом смысле.
306 Теорема устойчивости для минимальных слоений на торе
Мы утверждаем, что такое квазипериодическое решение уравнения (6.1) также
существует, если |А| достаточно мало, при условии, что О удовлетворяет
диофантову условию
п /К-\-1 \ 2 /К-\-1 \ - т
(6-5)
Д=1 k=l ' ^й=1 '
для всех целых ji, ... , jx+1, не равных нулю одновременно. Это
прямое обобщение примера 1 § 1, который соответствует случаю
К = 71, 0jkfl = <rkfl при к = 1,2,..., К = 71.
(Ь) Мы сформулируем это утверждение для подынтегральной функции F =
F(x,u,p) общего вида. Предположим, что oj: M"+1 -> -
линейное отображение, заданное как
П
^к - ^ ^ ^кц^Сц (& - I5 2, . . . , К), ^К-\-1 - д=1
и пусть
п п
ФеС-^хГ), Y, (6*6)
1/,Д=1 V = 1
для всех действительных Ai, А2, ... , А". Функция F = F(x, р)
определяется как
F(x, р) = Ф(о;(ж), р).
Для заданного вектора а 6 Ж" мы ищем квазипериодические решения и
уравнения Эйлера
П
У" dX)iFPii(x, и, их) - Fu(x, и, их) = 0,
д=1
где мы требуем, чтобы и = и(х) было представлено в виде (6.3), О
определяется из (6.4).
Это приводит к дифференциальному уравнению
п К-\-1
E(U) = U, DU) - Ф"(?, и, DU) = 0, = У]
v=l k=1
(6.7)
где U удовлетворяет условию периодичности и монотонности (6.2).
§6. Квазипериодический случай
307
Для этого уравнения мы имеем прямое обобщение теоремы 1. Если О
удовлетворяет диофантову условию (6.5), и если U* удовлетворяет (6.2) и
является приближенным решением уравнения (6.7) (т.е. ||75(f7*)||T < S),
то при достаточно малом S существует точное решение U уравнения E(U) = 0,
удовлетворяющее (6.2).
Количественные формулировки здесь в точности такие же, как и в теореме 1,
и мы не будем их повторять. Доказательство также аналогично и, можно
подумать, что уравнение (6.7) может рассматриваться как частный случай
