Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
инвариантный к преобразованию трансляции с любым В, а это означает, что
определяющие уравнения для однородного материала не могут явно зависеть
от X. В качестве другого примера рассмотрим случай изотропно упругих тел.
Упругие материалы в теории градиента первого поряда (без учета
термодинамики) описываются при помощи определяющего уравнения для тензора
напряжений Коши следующего вида:
t = t (F), (2.5.3)
где F - прямой градиент перемещения (2.2.4). Известно, что для
изотропного материала группа симметрии является полной ортогональной
группой 0(Е3). Условие изотропности в применении к уравнению (2.5.1)
требует, чтобы
t = t (FP_I), (2.5.4)
где P_I - произвольное ортогональное не зависящее от времени
преобразование в отсчетной конфигурации Ж R. Инвариантность, описываемую
соотношением (2.5.4), ни в коем случае не следует путать с
инвариантностью, соответствующей принципу объективности. Для последней,
согласно третьему уравнению (2.5.2) и первому (2.3.30), мы имели бы
соотношение
Qt(F) Qr = t(QF), (2.5.5)
где Q - произвольное зависящее от времени ортогональное преобразование в
текущей конфигурации Для некоторых классов сплошных сред, однако, может
быть так, что требование объективности накладывает условие изотропности
среды. Это происходит тогда, когда рассматриваемая среда, как, например,
в случае жидкости, не имеет предпочтительной отсчетной конфигурации, так
что в качестве конфигурации, в которой записываются условия материальной
симметрии, берется текущая конфигурация.
Все принципы, здесь схематично изложенные, будут использоваться в
дальнейшем, первый раз в § 2.10 при рассмотрении термоупругих тел, затем
в главах, посвященных материалам с электрическими и магнитными
свойствами, но мы уже не будем задерживать внимание на подробностях.
§ 2.6. Принцип виртуальной работы 109
§ 2.6. Принцип виртуальной работы
Формулировка знаменитого принципа виртуальной работы, также называемого
принципом Д'Аламбера, хотя и имеет дело с понятием энергии, не требует
предварительного изложения термодинамики. Тем не менее мы отложили
обсуждение этого принципа до сих пор, так как намереваемся показать его
тесную связь с принципом объективности. В качестве примера рассмотрим
случай, когда локальные балансные уравнения механики сводятся к простым
соотношениям (2.4.21) и (2.4.28) с граничными условиями (2.4.20). Пусть
v* - произвольное векторное поле, компоненты которого v\ имеют
размерность
скорости. Поэтому v* называется полем виртуальных скоростей; оно не
обязано, хотя и может совпадать с полем реальных скоростей. Правый
верхний индекс в виде звездочки будет применяться для отделения
виртуальных полей от реальных и для обозначения значений, принимаемых
выражениями, вычисленными для виртуальных величин. Умножим скалярно
уравнение (2.4.21) на V*; проинтегрировав полученное уравнение по
пространственному объему Bt с учетом уравнений (2.4.28),
(2.4.20) и теоремы о дивергенции, найдем
О+ *0О.
(2.6.1
где
^(В(, t.')=5vvVm, (2.6.2)
Bt
= ~ \PiOdv> <2-6-3>
Bt
r{V)(Bt, 0*)= Jf.v'd/n, (2.6.4)
Гю(№" v')= \t"-Vda (2.6.5)
dBf
- полная виртуальная работа сил ускорения, внутренних сил, объемных (или
массовых) сил и поверхностных сил соответственно. Мы также положили
р\ = tr (tD*r) = titD'w D*{ ^ 0;?> (2.6.6)
Выражения ^*а), ^*{), и $*'C) в левых частях уравнений
(2.6.2) - (2.6.5) обозначают непрерывные линейные функциона-
110
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
лы, осуществляющие следующие отображения (R - веществе: ная прямая) :
Здесь и* - трехмерное линейное пространство с топологией, кот рая
создается нормой с равномерной сходимостью. Шестимернс линейное
пространство симметричных тензоров с компоне: тами D]t обозначено как
T*obj по следующим причинам. Уравн ние (2.6.1) имеет форму,
соответствующую той, которую предш сывает теория градиента первого
порядка для определяющил величин в механике (в выражение виртуальной
работы входят самое большее только первые пространственные градиенты от
V*). Так как тензор t должен быть объективным и необходимо инвариантно
при преобразованиях (2.5.2), то ввиду тривиальной инвариантности
скалярного произведения сомножитель при t в выражении для должен быть
объективен; а этот сомножитель есть не что иное, как тензор скоростей
деформации D*; причем D* - объективная часть первого пространственного
градиента от v* (ср. соотношения (2.3.4) и (2.3.5)). Среди возможных
полей пространства v* некоторые представляют особый интерес. К ним
относятся виртуальные поля скоростей абсолютно твердого тела, занимающего
объем Bt. Согласно уравнению
(2.3.23), такие поля образуют область с&, описываемую шестью параметрами
и являющуюся подпространством v*; эта область состоит из виртуальных
полей следующего вида, определенных для х е Bt, где Bt - замыкание Вр.
Подпространство W называется пространством движений абсолютно твердого
тела. Согласно уравнениям (2.6.9) и (2.3.22), имеем
Это соотношение можно сформулировать в виде хорошо известной аксиомы
