Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
С. Переход к другой системе отсчета, принцип объективности
Хотя наша главная задача состоит в исследовании деформирующихся тел, мы
довольно подробно рассмотрели движения абсолютно твердого тела по
следующей причине. Определяющие уравнения для сплошной среды, как будет
видно в следующем разделе, должны удовлетворять условию формин-
вариантности по отношению к определенному классу систем отсчета. Условие
инвариантности часто называется принципом равноправия систем отсчета,
принципом объективности или условием реологической инвариантности. Для
применения принципа объективности важно знать, какие геометрические
объекты, в том числе характеризующие деформацию и скорость деформации,
действительно имеют такую инвариантность при преобразовании системы
отсчета или, другими словами, являются объективными величинами.
Важное значение имеет понятие преобразования одной сш стемы отсчета к
другой. В классической механике все рассмотрение ведется с точки зрения
наблюдателя, связанного с абсолютно твердым телом (или с системой из трех
жестко скрепленных ортогональных векторов) и снабженного часами.
Собственно говоря, наблюдатель как таковой не нужен, важно лишь понятие
перехода от одного наблюдателя к другому или, как мы скажем, понятие о
преобразовании системы отсчета. Упорядоченная пара (x,t), где хеЕ3 и t -
некоторое значение ньютоновского абсолютного времени, называется
событием. Место действия события называется пространством-временем. По
определению преобразование системы отсчета - это гомеоморфизм
пространства-времени на самого себя, сохраняющий расстояния
(изометричность), интервалы времени и направление течения времени. Можно
показать, что в пространстве времени нерелятивистской физики наиболее
общее преобразование системы отсчета имеет вид [Noll, 1974]
vQ = Уд, + а х mq.
(2.3.27)
х' = Q (t) (х - а) + с (/), t* = t - а,
(2.3.28)
94
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
где с - зависящий от времени вектор, а - постоянный вектор, Q - зависящий
от времени ортогональный тензор и а - постоянная. Класс тензоров Q
ограничивается обычно собственными ортогональными тензорами, для которых
detQ = +l. Причина этого будет далее понятна. Второе из уравнений
(2.3.28) выражает всего лишь сдвиг начала времени на шкале часов.
Уравнения (2.3.28) выражают "преобразование от системы отсчета, величины
в которой обозначаются без звездочки, к системе отсчета, величины в
которой отмечаются звездочкой"; не следует путать систему отсчета с
системой координат (преобразования последних не содержат времени). Если
отвлечься от сдвига во времени, то легко узнать в уравнении (2.3.28)
уравнение, описывающее движение абсолютно твердого тела (2.3.24). По этой
причине принцип объективности часто называют условием инвариантности к
наложению произвольного движения абсолютно твердого тела. Выше
подразумевались две возможные точки зрения, по релятивистской
терминологии - пассивная (одно и то же движение рассматривается в двух
разных системах отсчета) и активная (система отсчета изменяется
специальным движением, которое накладывается на исследуемое движение).
Отметим также, что уравнение (2.3.28) относится к преобразованию
пространственных координат, т. е. к преобразованию систем отсчета,
используемых для описания текущей конфигурации Жи
D. Поля объективных тензоров
Тензорная величина называется объективной, или не зависящей от системы
отсчета, тогда и только тогда, когда ее компоненты меняются по тензорному
закону при всех преобразованиях систем отсчета (2.3.28). Более точно,
имеют место следующие равенства:
f* = f для объективных скаляров f,
V* = Q (^)V для объективных векторов V, (2.3.29)
t* = Q (0 tQr (?) для объективных тензоров второго порядка и т. д.
Для величин из теории конечных деформаций легко доказываются следующие
правила преобразования:
F' = Q(0F, R* = Q(0R, U* = U,
V* = Q(0VQr(4 С* = С, В* = Q(0 BQr(t). 1 ' •dU'
Неизменность U и С при преобразованиях (2.3.28) происходит из-за того,
что эти величины являются тензорными полями в конфигурации Жк и скалярами
по отношению к конфигурации Жи
о-
§ 2.3. Скорости деформации и принцип объективности
95
Найдем угловую скорость вращения А={А/; =-Ац) системы отсчета со
звездочкой относительно системы отсчета без звездочки (ср. с уравнением
(2.3.25))
При помощи полученных результатов также можно показать, что скорость v,
ускорение Y = v, материальная производная V от поля объективного вектора
V, скорость деформации D, тензор скоростей вращения Q при преобразовании
(2.3.28) изменяются следующим образом:
Из уравнений (2.3.30) - (2.3.35) следует, что величины F, !R, U, V, С, В,
Е, <5 и D объективные, тогда как v, у, й не объективные. Кроме того,
материальная производная поля объективного вектора (или тензорных полей
более высокого порядка) не является объективной. При построении
усложненных теорий сплошных сред, например теорий деформируемых тел с
электрическими и магнитными свойствами, могут, однако, понадобиться
