Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
определяющие уравнения имеют следующий вид:
Dt = ^[D] + rf[g], q = #[D]-ar<°>[g], (2.9.16)
где Jf, М, $ и - линейные операторы, представляемые соответственно
тензором четвертого порядка, тензорами третьего порядка и тензором
второго порядка; эти тензоры, согласно соотношению (2.9.6), имеют
следующую симметрию:
= Xf] = Xfl (2.9.17)
Более того, симметрия тензоров Dt и D налагает условия
ЛУш - Nijki = J?щь '&nk = '&i/ь &iik = &ikj- (2.9.18)
Для материалов с полной изотропностью, предполагающей их инвариантность
при зеркальном отображении системы координат (т. е. преобразование
РеО(Е3) может иметь det Р = -1) и, что более ограничительно, для
материалов, имеющих центр симметрии, тензоры и ЗИцк имеют тождественно
равные
нулю компоненты. Более того, в случае полной изотропности можно показать,
если учесть условия симметрии (2.9.17) и
(2.9.18), что два оставшихся тензорных коэффициента JCpki
§ 2.9. Формулировка определяющих уравнений
123
и необходимо имеют следующие неупрощаемые пред-
ставления [Racah, 1933]:
Л'/ш = ^n^kt + + S/As). Жц=хЬ1}, (2.9.19)
где T)i, т]2> % - скаляры, которые могут зависеть только от 0 и р; в этом
случае уравнения (2.9.16) принимают вид
Dtji ~ ЦуОккЬц + 2ti2D!h q = - xV0. (2.9.20)
Первое из этих уравнений выражает классическое определяющее уравнение для
ньютоновской вязкой жидкости. Параметры т)1 и т)2 являются коэффициентами
вязкости сжимаемой вязкой жидкости. Легко показать, что неравенство
(2.9.7) в рассматриваемом случае выполняется только тогда, когда гц, г\2
и % удовлетворяют следующим неравенствам:
3rh + 2ri2>0, п2> 0, х>0. (2.9.21)
Предполбжение 3r)i + 2г|2 = 0 называется гипотезой Стокса.
(с) Наконец, укажем, как можно получить определяющее уравнение для
обычной идеальной жидкости Эйлера. Положим v = р 1, тогда е~ё(т],р-1)-
При соблюдении условий (2.9.8)
имеем ё = тр~1. Но из уравнения (2.4.3) следует p_I = p~lDkk, а уравнение
(2.8.10) имеет вид рe = tjiDij. С учетом определения т = de/dip-1) в силу
произвольности Da окончательно получаем
tn = -nbji, я Ез -де/(др~1) |^соп8с (2.9.22)
Скаляр я называется термодинамическим давлением. Разумеется, можно также
записать
е = ё (т), р), tji = яб/г, я = р2(-|^)| . (2.9.23)
X ' lr\=const
Легко построить определяющие уравнения для случая, когда условия (2.9.8)
уже не имеют места, если предположить, что тензор st по-прежнему имеет
вид (2.9.22), a flt и q определяются соотношениями типа (2.9.20).
В заключение заметим, что если жидкость несжимаемая, то ее определяющие
уравнения должны удовлетворять дополнительному условию tr D = Dkk = 0,
что упрощает первое из уравнений (2.9.20). Однако в этом случае
рассмотренный вывод уравнения (2.9.22) уже не проходит. Правильнее
сказать, что тензор *t определяется с точностью до шарового тензора t(0>,
т. е. такого тензора, который, согласно принципу виртуальной работы
(2.6.6), удовлетворяет равенству - 0. Поэтому
тензор t(0) имеет вид tft = - pb/t, где р - так называемое
124
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
механическое давление, которое является неизвестной скалярной полевой
величиной; ее значения находятся из решения корректно поставленной
краевой задачи.
§ 2.10. Теория термоупругости, основанная на аксиоматической
термодинамике
A. Определение
Согласно Колеману [Coleman, 1964], термоупругий материал определяется как
среда, которая описывается системой из четырех определяющих уравнений для
удельной свободной энергии if), тензора напряжений t, удельной энтропии q
и вектора потока тепла q; все эти величины полагаются a priori функциями
градиента перемещения F, абсолютной температуры 0 и градиента температуры
G = VR0 в отсчетной конфигурации, т. е.
•ф = -ф(F, 0, G), t = f(F, 0, G), q = q(F, 0, G), q=q(F, в, G).
(2.10.1)
Предположение о том, что ф, t, т) и q - функции одного и того же
множества аргументов, можно назвать гипотезой равно-представленности\ ей
не следует придавать большое значение; это всего лишь мера
предосторожности Разумеется, скалярные, векторные и тензорные функции ф,
t, q и q считаются достаточно дифференцируемыми в области их определения
D. Множество из семи функций (F, 0, G, ф. t, q, q), удовлетворяющих
определяющим уравнениям (2.10.1), локальным балансным уравнениям и
второму закону термодинамики, определяют, как говорят, допустимый
термоупругий процесс. Такой процесс приобретает конкретную форму, если
известны решения
х = $?(X, t), 0 = 0(Х, 0; (2.10.2)
по этим решениям можно вычислить F и G; поля же ф, t, г) и q определяются
при помощи уравнений (2.10.1). Остальные величины f и h, входящие в
полевые уравнения, окончательно определяются из этих уравнений. Очевидно,
такая процедура является "мысленным экспериментом", так как в
действительности задаются, вообще говоря, именно величины f и h.
B. Определение допустимой формы определяющих уравнений
Очевидно, что определяющие уравнения (2.10.1) довольно общие. Однако, как
уже отмечалось, они должны подчиняться
