Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
(2.3.49) можно записать также в виде
V - V - (V • V) v + V (V • v) = + V X (V X v) + v (V • V).
(2.3.50)
Если ввести еще один способ переноса, связывающий векторное поле V в
конфигурации Ж и векторное поле V в Жк по формулам
V = /F~*V и обратно V = /-IFV, (2.3.51)
то при помощи уравнения (2.3.16) легко показать, что
v-^
dt
= /F-IV*. (2.3.52)
§ 2.4. Принципы механики сплошных сред
А. Закон сохранения массы
Мы предполагаем, что материальные тела являются замкнутыми системами в
том смысле, что между ними нет обмена веществом. Поэтому следующая
интегральная величина - полная масса материального тела - постоянна во
времени:
dm = pdv. (2.4.1)
Bt
Это означает, что для любого t
m($0) - m((Mt). (2.4.2)
В дифференциальной форме это соотношение имеет вид dm - 0. Учитывая это
соотношение, второе из уравнений (2.4.1) и уравнение (2.3.17) для
произвольного элемента объема dv, найдем, что для любого хей( и для
любого момента времени t имеет место уравнение
р + pV ¦ у = 0 или -|j- + V • (pv) = 0. (2.4.3)
Уравнение (2.4.3) называется уравнением неразрывности или уравнением
локального баланса массы. Как и в случае других балансных уравнений,
рассматриваемых в этом параграфе, мы предполагаем, что все интересующие
нас величины не имеют разрывов в своей области определения. Пусть р0 -
плотность массы в Жц при t = t0\ тогда с учетом уравнений (2.2.49) и
(2.4.2) получим
^pdu= ^рJ dV = ^Ро^ПЛ (2.4.4)
§ 2.4. Принципы механики сплошных сред
99
Подынтегральное выражение (р/ - ро) предполагается непрерывным в области
определения Во; при этом предположении из уравнения (2.4.4) следует
локальное соотношение
Это не что иное, как интеграл по времени от уравнения (2.4.3).
В. Математическая формулировка балансных законов в физике сплошных
сред
Пусть Ф (х, t), х е Bt (J dBt, - некоторое основополагающее тензорное
поле, применяемое для описания физических свойств материального тела в Жи
в расчете на единицу массы. Интегральный закон баланса по отношению к
полю Ф в текущей конфигурации Жг имеет вид
Правая часть этого уравнения представляется в виде суммы двух вкладов:
вклада от поверхности, представляемого в виде интегральной суммы по dBt
от некоторой поверхностной величины ^{Ф}, ассоциируемой с полем Ф; вклада
от объема или тела, представляемого в виде интегральной суммы по Bt от
массовой величины 0{Ф), также связываемой с Ф. Величина st-описывает та*к
называемое контактное действие. Следуя Эйлеру и Коши, будем считать, что
тензорное поле S&, рассчитанное на единицу площади, зависит от локальной
геометрии граничной поверхности dBt только в первом порябке1\ Таким
образом, это тензорное поле зависит только от направления касательной
плоскости в точке х е dBt (которая для регулярной границы dBt является
непрерывно меняющейся) или, другими словами, только от направления
единичной внешней нормали п в точке х е dBt. Следовательно,
Это утверждение можно назвать обобщенным принципом напряжений Эйлера и
Коши (которые рассмотрели аналогичное предположение для случая, когда Ы -
вектор напряжения). Нолл [Noll, 1974, теорема IV] установил, что это
утверждение- не предположение, а следствие уравнения (2.4.6) и того
факта, что зависит от геометрии dBt некоторым определенным образом.
Поэтому величина может, вообще говоря,
4> Это применимо только для случая так называемых простых материалов по
терминологии Трусделла и Нолла [Truesdell, Noll 1965].
Ро = Р7.
(2.4.5)
s4- = s4-{x, t; n).
(2.4.7)
7*
100
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
зависеть от локальной геометрии dBt во втором порядке (например, от
кривизн поверхности).
Вторая группа доводов, используемая с целью дальнейшего упрощения формы
зависимости для зФ, связана с рассмотрением тетраэдра; с его помощью
доказывается фундаментальная лемма Коши, состоящая в том, что s&(x,t; п)
линейно зависит от п. Приведем простое доказательство этой леммы.
Рассмотрим элемент в виде тетраэдра на рис. 2.4.1 с площадью сторон S и
Sa, а = 1,2,3, и внешними нормалями п и па соответственно. На каждой из
сторон тетраэдра значение величины зФ
Рис. 2.4.1. Рассмотрение при помощи тетраэдра.
определяется уравнением (2.4.7); причем х в уравнении берется одно и
то же для всех сторон, так как полагается, что
тетраэдр стягивается в пределе в точку х (при фиксированном
t). Имеем
зФ - зФ(х; n), з?а = s&a (х; па) (2.4.8)
для сторон S и So. соответственно. Применив уравнение (2.4.6) при
фиксированном t к элементарному тетраэдру и совершив предельный переход,
при котором S и Sa стремятся к нулю, найдем, что объемные интегралы
пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными. Поверхностные же .
интегралы приводят к соотношению
•* = -4-T,Sa3*a. (2.4.9)
Л a = 1
Но на замкнутой поверхности 9* выполняется соотношение \nda = 0. Применив
это соотношение к элементарному тет-
§ 2.4. Принципы механики сплошных сред 101
з
раэдру, найдем n = (- 1/S) 2 50п0. Объединив последнее со-
а= 1
отношение с уравнениями (2.4.8) и (2.4.9), придем к выводу, что
