Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
приближение Фойгта в гл. 4), это про- i стое соотношение почти никогда не
будет иметь места в еле- ' дующих главах. !
§ 2.5. Замыкание системы полевых уравнений: формулировка определяющих
уравнений
Даже в самом простом случае, когда нет необходимости в , привлечении
термодинамики и система из полевых уравнений < сводится к уравнениям
(2.4.3), (2.4.21) и (2.4.28), очевидно,' что уравнений не хватает для
определения всех неизвестных , полей, хотя число граничных и начальных
условий может быть 1 адекватным. Действительно, уравнения (2.4.3),
(2.4.21) и 1
(2.4.28) в проекции на оси системы координат образуют си- 1 стему из семи
уравнений, тогда как неизвестные полевые ве- | личины р, v и t имеют
тринадцать неизвестных компонент. | Шесть недостающих уравнений, которые
есть не что иное, как определяющие уравнения, должны связать tp с другими
неиз- J вестными величинами. Такие определяющие уравнения в рам- J ках
единой общей схемы позволяют феноменологическим \ образом выразить все
разнообразие "континуальных" материа- | лов, встречающихся в природе.
Действительно, полевые урав- 1 нения справедливы для всех типов сред,
независимо от их | внутренней структуры. Однако материальные тела с одной
и 1 той же массой и формой при одном и том же внешнем воздей- ; ствии
ведут себя разным образом. Разница в поведении обус- i ловлена внутренней
структурой вещества. Так как в механике сплошных сред атомная структура
вещества не рассматривает- ; ся, то все существенные различия в структуре
вещества должны выразиться через требуемые определяющие уравнения. '
Чтобы быть более конкретными, рассмотрим случай чистой i
механики, хотя развиваемый здесь подход в следующих главах I
будет применяться к более широкой области физики сплошных сред. В этом
случае определяющее уравнение является соотношением между силами и
перемещениями (например, в пру- < жине). Проще говоря, силы, приложенные
к телу, являются ;
"причиной" его движения и это результирующее движение имеет j
разный характер в зависимости от природы вещества тела. Например,
большинство твердых материалов под действием слабого внешнего давления
лишь слегка деформируется, тогда как жидкости начинают течь и более или
менее быстро, в зависимости от их вязкости, принимают форму заключающих
их емкостей. Интересующие нас силы в механике сплошных сред
§ 2.5. Замыкание системы полевых уравнений
105
[являются контактными силами, выражающимися через тензор ' напряжений
f/г.
! Подобно геометрии, в которой разные фигуры вводятся как ! идеализации
определенных природных объектов, так и в механике сплошных сред разные
идеальные среды вводятся че-Ьез частные формы соотношения между тензором
напряжений i) перемещением или деформацией тела. Некоторые материалы
Представляют чрезвычайно большой самостоятельный интерес (например,
упругие материалы), но большинство из них в основном интересны не сами по
себе, а лишь в качестве представителей некоторого класса материалов.
Поэтому есть необходимость в общей теории определяющих уравнений.
Хотя в формулировке определяющих уравнений микроскопические величины,
вообще говоря, не фигурируют, при выборе определяющих переменных и
определяющих уравнений должны быть удовлетворены определенные физические
и математические условия. Теория определяющих уравнений, таким образом,
приобретает сходство с математической теорией, следующей определенной
дедуктивной схеме, как только принято некоторое число постулатов и
основных принципов. Зти принципы являются не чем иным, как формализацией
a priori принятых гипотез, оправдавших свою эффективность и полезность
как в специальных применениях, так и в повседневном опыте. Эти принципы
дают методы построения подходящей системы определяющих уравнений и
накладывают ограничения на их форму. Они имеют, таким образом,
эвристическую ценность. Невозможно дать им строгое обоснование, поэтому
они не могут быть включены в какую-либо логическую схему. Для
рассматриваемой здесь теории уравнений рассмотрим следующие принципы.
Принцип причинности. "Причины" в прошлом и настоящем (независимые
определяющие переменные) определяют "следствия" в настоящем (независимые
определяющие переменные) . Этот принцип имеет онтологическую природу в
том смысле, что он подчеркивает влияние того, что предшествует, наводя
тем самым на идею использовать для описания общих определяющих уравнений
функционалы по времени. Однако в дальнейшем никакие эффекты памяти
учитываться не будут, и мы примем более простую формулировку. "Причины" в
настоящем определяют "следствия" в настоящем. Применение этого принципа
самоочевидно: независимые и зависимые определяющие переменные
определяются в одном и том же событии (х, t).
В этой формулировке, конечно, не следует искать какого-либо особого
философского смысла.
106
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
Принцип близости или локального действия. Значения независимых
определяющих переменных в материальных точках, удаленных от одной
