Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
*> Модуль |АI тензора второго порядка определяется по формуле |А|2= = tr
(ААГ).
"8
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
C. Изменения объема и площади
В качестве упражнения читателю предлагается вывести следующие полезные
формулы. Пусть dV и dv - объемы материального элемента в конфигурациях Жк
и Ж соответственно. Тогда
dv = JdV. (2.2.49)
В теории бесконечно малых деформаций
1 1 + tr е = 1 -f- ???. (2.2.50)
Пусть NgL4 и пda - ориентированные элементы поверхности - материальная
площадка с нормалями N и п в конфигурациях Жк и Ж соответственно. Тогда
имеют место так называемые !
формулы Нансона \
/N dA = Frn da, или JNK dA = x^Kntda, (2.2.51)
J~ln da = (F_1)r N dA, или J~lnida = XK iNK dA. (2.2.52) Аналогичные
формулы для преобразования объема имеют вид <
(rxxt'K),i = 0, №,Д/С = 0. (2.2.53) 1
D. Замечание об условиях совместности 1
Введенные выше тензоры деформации в пространстве Е3 (
имеют в общем случае по шесть независимых компонент. Од- ]
нако они выражаются через вектор перемещения, который 1
имеет самое большее три независимые компоненты. Если про- ;
извольно задать шесть компонент тензора деформации, то сразу ;
возникнет вопрос, существует ли однозначное непрерывное j
поле вектора перемещения, соответствующего этой деформации. '
Очевидно, уравнения (2.2.40) и (2.2.41) не имеют решений для трех
неизвестных функций ик или и;, если не выполняются определенные условия
интегрируемости или совместности. Эти условия в виде системы
дифференциальных уравнений в частных производных содержат только
компоненты тензора деформации. Например, в теории бесконечно малых
деформаций условия совместности, известные как соотношения Ламе, имеют
вид [Eringen, 1967]
^iik&pqr^ip, kr= 9. (2.2.54)
Чтобы получить соответствующие условия совместности в теории конечных
деформаций, достаточно заметить, что в классической механике сплошных
сред трехмерное материальное (материальные координаты) пространство в
ицходной конфигурации евклидово (в отсутствие дислокаций), т. е. плоское,
§ 2,3. Скорости деформации и принцип объективности
89
с нулевой кривизной Римана - Кристоффеля, и остается таким в любом
процессе деформации.
Согласно уравнениям (2.2.18) и (2.2.19), тензор Вц1 или Сцт, метрический
для этого евклидова материального пространства тогда и только тогда,
когда образованный из этого тензора тензор кривизны Римана - Кристоффеля
52 обращается в нуль. Символически это можно записать в виде
&KLMN (с) = 0, или #,м/(В-1) = 0- (2.2.55)
Любое из этих уравнений в пространстве Е3 (с шестью независимыми
компонентами) обобщает соотношение (2.2.54) на случай теории конечных
деформаций. Очевидно, тензор I-2е может рассматриваться как метрический
для деформированного материального пространства в теории бесконечно малых
деформаций. В этом случае уравнение (2.2.55) принимает вид 52ц"(е) = 0.
Однако с тензором кривизны 52ц" в трехмерном пространстве (и только в
таком) можно связать дуальный дважды ковариантный тензор 5ц (с шестью
независимыми компонентами) так, что 5ц = (1/4) (еше/т"52"т"). Из
выражений для Stijki, приведенных в книгах по дифференциальной геометрии
[Eringen, 1971], и определения 5ц следуют условия совместности (2.2.54).
Полное исследование условий совместности лежит за рамками данной книги.
§ 2.3. Скорости деформации и принцип объективности
А. Поле скоростей и скорости изменений
До сих пор зависимость перемещений (2.2.1) или (2.2.2) от параметра
времени не принималась во внимание. По отношению к этому параметру можно
выполнить две основные операции с произвольным тензором A (x,t) - частное
дифференцирование по времени и материальное дифференцирование по времени,
обозначаемое как d/dt или точкой над буквой. Сначала, исходя из уравнения
(2.2.1), определим поле скоростей континуума:
V(x, {)=**] (2.3.1)
°[ iX = const.
Следовательно, материальная производная A(x,t) определяется формулой
dA{*' = А = + (v ¦ V) А, (2.3.2)
90 Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
Особое значение имеет так называемый градиент скорости L, определяемый в
текущей конфигурации Ж соотношением
L = (Vv)r, или Ltj = vl; j. (2.3.3)
Этот тензор второго порядка в общем случае канонически рас-
кладывается на симметричную часть - тензор скоростей деформаций D и
антисимметричную часть - тензор скоростей вращения й:
L = D + т. е. Ьц = Бц + Qt-/, (2.3.4)
где
D -72(L + Lr), т. е. Dij = ll2{vij-{¦ ищ) -Dsi,
Q = 72 (L - I/), т. e. Q,, = 72 (0i>, - V/t,-) = - Q/(.
Антисимметричному тензору Q можно поставить во взаимно однозначное
соответствие аксиальный вектор с компонентами Q,:
= 7г^i/' " (2.3.6)
Вектор Q = (VXv)/2 называется вектором вихря.
Теперь рассмотрим соотношения между L, D, й и скоростью изменений во
времени F, С и R. Из уравнений (2.2.4), (2.2.5) и (2.2.7) непосредственно
следует, что
F = LF, или xitK = vitlxltK. (2.3.7)
5х = F dX = L dx, (2.3.8)
F~' = - F~'L, или XKi i = - vit iXKt j. (2.3.9)
Учитывая эти соотношения и уравнения (2.2.17), (2.2.20),
