Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Можен М. -> "Механика электромагнитных сплошных сред" -> 40

Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.

Можен М. Механика электромагнитных сплошных сред — Москва, 1991. — 560 c.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка): mehanikaelektromagnitnihsploshnihsred1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 207 >> Следующая

М (х; - 2 50na^ = -у Е Sas& (х; па). (2.4.10)
Из этого уравнения ясно, что j^(x;n) линейно зависит от п, т. е.
s?{x\ n) = A[n](x) = n • А(х), xeidBt. (2.4.11)
В частности,
' "я?(х;- - п) = - s?(x; п). (2.4.12)
Если S& - тензорное поле порядка п, то А - тензорное поле порядка п-j-l.
Общие балансные законы (2.4.6) можно теперь переписать в виде
J n-A{0}da+ (2.4.13)
Следовательно, величину А можно назвать потоком величины Ф через границу
dBt, a Q - массовым источником величины Ф
в объеме Bt. Из соотношения dm = 0 следует
d
dt
^ Ф dm = bdm. (2,4.14)
Bt Bt
Применяя этот результат и теорему о дивергенции к уравнению
(2.4.13), преобразуем его к виду
^ (рФ - div А {Ф} - pQ (Ф}) dv = 0, (2.4.15)
Bt
где символ div, примененный к тензорному полю А, означает здесь и
далее свертку оператора V с тензором А по первому
индексу последнего, т. е. (div А)*..* = An_,k,/. Подынтегральное
выражение в уравнении (2.4.15) предполагается непрерывным во всем объеме
Bt, а это предположение при помощи процедуры, называемой локализацией,
приводит к следующему локальному балансному уравнению для поля величины
Ф, справедливому в любой точке х е Вс
P<b=*divA{<D} + pQ{(r)}. (2.4.16)
102
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
С. Локальные полевые уравнения механики 1
Основные тензорные поля в расчете на единицу массы, ко 1 торые появляются
в чистой механике сплошных сред, - это скорость v и спин 9'. Последнее в
общем случае состоит из двух ¦¦ частей: внутреннего спина s и так
называемого "орбитального" спина, который есть не что иное, как момент
импульса среды -в расчете на единицу массы; т. е.
У - s + р-1 (х X pv). (2.4.17)
Основные уравнения механики сплошных сред - это так \ называемые первое и
второе уравнения движения Эйлера- ^ Коши. Первое уравнение выражает
баланс импульса, а вто- j рое - момент импульса. Поля Ф, ^ и Q,
соответствующие этим -уравнениям, приведены в следующей таблице.
Балансное уравнение ф Л {Ф} Q {Ф}
Для массы Для импульса Для момента импульса 1 Скорость V Полный спин 9?
= s + х X v Поверхностное напряжение Полный поверхностный момент сил тМ +
* х t(n) Массовая сила f Полный массовый момент сил с + хХ f
Здесь принято во внимание возможное наличие внутреннего спина s,
поверхностного момента сил ш(П) и объемного момента сил с. В соответствии
с уравнением (2.4.1) имеем
^ \dm= ^ t[n)da-\- f dm, (2.4.18)
Bt dBt Bt
^ (s + x X v) dm= ^ (ni(n) + x X W da+ j(c + xXf) dm.
Bf dBx Bf
(2.4.19)
Фундаментальная лемма Коши, примененная к уравнению
(2.4.18), показывает, что существует тензор второго порядка t с
компонентами tn, называемый тензором напряжений Коши, такой, что на
поверхности dBt выполняется соотношение
t(n)(x) = n • t(x), т. е. /<") i - njtn, x^dBt. (2.4.20)
Учитывая этот результат и уравнение (2.4.18), получим локальное полевое
уравнение, соответствующее (2.4.18), в виде
PY = divt + pf, т. е. pvi = ttii! + f>fi. (2.4.21)
§ 2.4. Принципы механики сплошных сред 103
Это есть локальная формулировка баланса импульса в меха-
нике сплошных сред.
Подстановка результатов (2.4.20) и (2.4.21) в уравнение
(2.4.19) преобразует последнее к виду
^ s dm= ^ m<")da-f ^-(Рс + 2 dual Е4) dv, (2.4.22)
Bt dBt Bt
где
(dually ==->/2е?/Л/. (2.4.23)
Применив теперь уравнение (2.4.22) к элементарному тетраэдру, найдем, что
существует тензор второго порядка m с компонентами т/,-, называемый
тензором моментных напряжений, такой, что на поверхности dBt справедливо
соотношение
Ш(")(х) = п • ш(х), т. е. Ш(п)1 =п,тн, x<=dBt. (2.4.24)
Локальное балансное уравнение, соответствующее уравнению
(2.4.22), имеет вид
ps = divm + рс + 2 dual tA, т. е. ps, = т/г>; -f рсг + еш^г.
(2.4.25)
Здесь нужно отметить, что величины s, с и Ш(га) аксиальные, поэтому
тензор ш аксиальный по своему второму индексу. Следовательно, уравнение
(2.4.25) можно записать в "дуальной" форме через дуальные величины:
pSi/ = ты;, k + Сц + hii] I (2.4.26)
где
$ц - - 4^nksk - ~ S;i, mki; = - 42^iipmkp = -mkn,
п ____ I/ Пр п ________С \1Л.2,()
W/ = - -i29biikCk - Wi-
Уравнение (2.4.25) или (2.4.26)-общая локальная форма второго уравнения
Эйлера - Коши. Внутренний спин может появиться из квантовомеханических
рассмотрений (как в случае ферромагнитных тел; см. гл. 6). Что касается
объемных моментов сил, то они наиболее часто возникают из-за действия
электромагнитных полей в намагничивающихся или поляризующихся средах (см.
гл. 3). Если все эти эффекты несущественны и не имеют значения моментные
напряжения (последний может также иметь квантовомеханическую природу, см.
гл. 6), то St; = 0, Сц - 0, mkp = 0 и уравнение (2.4.26) сводится к
хорошо известному уравнению
tUn = 0. (2.4.28)
Это уравнение выражает тот факт, что в классической механике сплошных
сред (например, в классической теории упру-
104
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
гости и гидроаэромеханике) тензор напряжений Коши симмет-1 ричен. Кроме
нескольких частных случаев, рассматриваемых! приближенно (например,
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 207 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed