Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействия достаточно строго исследуются в рамках континуального
описания.
80
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
Отметим одно важное обстоятельство, которое может привести к потере
точности классической физики сплошных сред. В случае, когда отклик
материального тела вызывается внешним физическим воздействием с
характерным масштабом длины, сопоставимым с размером среднего зерна или
молекулы вещества, может оказаться, что эти элементы возбуждаются
независимо друг от друга. В этом случае собственные микроскопические
движения молекул должны быть учтены. Важность этого замечания становится
особенно ясной, когда рассматривается распространение волнообразных
возмущений с большими частотами или малыми длинами волн. Когда длина
волны К имеет тот же порядок величины, что и средний размер зерна или
молекулы, К = L <С L*, отклик материала существенно определяется
микроскопическими движениями отдельных частиц. Таким образом,
континуальное описание достаточно хорошо подходит для рассмотрения
коллективных мод возбуждений лишь при XmL> L*. Это условие считается
выполненным не только для случая классических волн теории упругости, но
также и для других коллективных мод, таких, как магноны (§ 1.7) и
поляритоны (§ 1.12), описание которых в длинноволновом приближении
предполагает, что длины волн много больше постоянной решетки.
В заключение добавим, что уравнение (2.1.1), как теперь очевидно,
является основным исходным пунктом всех теорий сплошной среды, а именно
теорий материального континуума, наделенного с математической точки
зрения массовой мерой. В следующих главах появится возможность ввести
аналогичным образом два других представляющих интерес континуума-
континуум электрического заряда (гл. 3) и континуум электромагнитного
спина (гл. 6).
§ 2.2. Перемещение и деформация сплошной среды
Предположим, что сплошная среда в момент времени t0 занимает область
евклидового пространства Е3; состоит из материального объема BQ и его
границщ дВ0. Положение одной выделенной материальной точки Р (Р означает
particle - частица) может быть определено ее координатами Хи Х2, Х3 в
декартовой системе координат или просто вектором X с компо-нентами Хк, К=
1, 2, 3 (рис. 2.2.1). После перемещения и деформации сплошной среды в
момент времени t> t0 материальные точки из В0 и дВо займут область Bt в
Е3, состоящую из пространственного объема Bt и его границы dBt, которые
для краткости обозначаются через В и дВ. Выделенная материальная точка,
или частица Р, теперь находится в пространственной точке р, положение
которой можно определить в другой системе
§ 2.2. Перемещение и деформация сплошной среды
81
координат, например декартовой, jc*, k = \, 2, 3. Новое положение
материальной точки обозначается через х (иногда через г). То что эти две
системы координат не совпадают, может оказаться полезным.
Введение двух разных систем координат - одной для неде-формированного
тела в момент времени to и другой для деформированного в момент t -
особенно удобно в случае, когда
Рис. 2.2.1. Перемещение континуума.
естественно применить криволинейные системы координат Использование двух
разных систем для описания перемещения и деформации сплошного тела, даже
когда они обе декартовы, проясняет некоторые тонкие моменты, особенно
когда рассматриваются конечные деформации. Координаты Хк называются
материальными или лагранжевыми, ах* - пространственными или эйлеровыми.
Соответственно, первые координаты описывают отсчетную (или лагранжеву)
конфигурацию Жц материального тела в момент времени t0, а вторые -
текущую (или; эйлерову) конфигурацию Жи т. е. Ж в момент t. Ясно, что
описать перемещение тела с течением времени - это описать положения,
последовательно занимаемые телом в Е3, т. е. последовательное сочетание
этих двух конфигураций во времени. Перемещение и деформация тела -это
перенос всех его материальных точек в пространстве. Точнее это можно
выразить в виде2) _____________ х = Я?(Х, t), или xk =
%k(Xk,t), (2.2.1)
15 Типичный пример, когда удобно использовать такие системы координат,
представляется случаем конечной деформации прямоугольного кубика резины в
круговой цилиндр. Применение декартовой системы координат для
недеформированного кубика и цилиндрической для получившегося цилиндра
напрашивается само собой.
2) Все несложные формы будут даны как в символьной, так и в
покомпонентной (в декартовой системе координат) форме. При записи в
последней принимается правило суммирования Эйнштейна по немым индексам.
6 Ж. Можен
82 Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
где SS - непрерывно дифференцируемый для любого t гомеоморфизм, если нет
поверхностей разрыва типа ударных волн-Поэтому отображение (2.2.1),
параметризованное при помощи. t, взаимно однозначное и обратимое.
Следовательно,
Х = Х(х, t), или XK = XK(xk,t), (2.2.2)
а якобиан
J = detF, (2.2.3)
где
F = = k,K=l, 2, З}, (2.2.4)
для любого t не должен обращаться в нуль; фактически J с течением времени
