Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
солитонов 2)(k,v)= 0. Оно определяется только линейными свойствами среды
(величина Ai в него не входит!).
§ 1.13. Однородно поляризованные и намагниченные тела
71
Кривую 2D {k, v)= 0 можно получить следующим образом. Введем
псевдочастоту <Ь= kv и преобразуем (1.12.25) к виду
к2--
¦ш
2 + й2
(1.12.26)
W2 -+- (О2
Теперь можно провести сравнение этого уравнения с уравнением (1.12.13).
Если в (1.12.13) заменить волновое число kp и частоту поляритонов сор на
Ш и ш соответственно, то получим уравнение (1.12.26). Следовательно, если
kp и (c)р рассматривать полярВз°вьна" как комплексные числа, то со-литонное
дисперсионное уравнение соответствует решению поляритонного
дисперсионного уравнения с мнимым волновым числом и мнимой частотой.
Кривые обоих дисперсионных уравнений изображены на рис. 1.12.3.
§ 1.13. Однородно поляризованные и намагниченные тела
Рис. 1.12.3. Схематическая дисперсионная кривая для солитонов. (Nelson D.
F. 1979; частное сообщение.)
В предыдущих параграфах мы "видели, что образец сегне-
тоэлектрика может быть однородно поляризован, а ферромагнетика однородно
намагничен. Было также отмечено, что эффекты наведения оптической
анизотропии указывают на важное значение сильных стационарных
электрических и магнитных полей, которые будем считать однородными в
исследуемом образце, чтобы избежать рассмотрения пространственной
дисперсии. Такие поля являются фоновыми решениями во многих динамических
задачах и задачах устойчивости. В эксперименте, например, переменное поле
слабой амплитуды с длиной волны Я распространяется по квазиоднородному
состоянию с конечной стационарной поляризацией или намагниченностью,
характерная длина изменения которых много больше Я.
Однако встает теоретический вопрос относительно условий, при которых
состояние с пространственно однородной поляризацией (или
намагниченностью) действительно может быть реализовано в образце
материала конечной протяженности. Конечность размера образца, очевидно,
требует использования, кроме объемных уравнений, например уравнений
электростатики (1.2.1) с qf = 0, еще и граничных условий. Сейчас они
будут сформули-
72 Гл. 1. Основные электрические и магнитные свойства твердых тел
рованы. Вывод будет проведен на примере поляризации, хотя он пригоден
также и для уравнений с намагниченностью (1.6.1) в отсутствие токов.
Рассмотрим тело, занимающее открытую область 2> пространства Е3,
ограниченную регулярной поверхностью д2> с внешней нормалью п; пусть о-
неподвижная поверхность разрыва внутри 2) с единичной нормалью N.
Регулярность здесь означает, что поверхность д2> во всех своих точках
допускает единственную нормаль (или единственную касательную плоскость);
разрывность на поверхности сг означает, что поля Е и Р при переходе через
поверхность испытывают конечные скачки, которые записываются в виде
[Е] = Е+ - Е~, [Р] = Р+-РХ (1.13.1)
где знаки плюс и минус указывают на значения полей на поверхности о с
двух ее сторон, вектор N направлен со стороны "минус" к стороне "плюс".
Условия для скачков, соответствующие уравнениям
V • Е = -V • Р, V X Е = 0, (1.13.2)
справедливым для объема 2) - о, формально получаются заменой операции V
(•) на операцию N[(•)]. Поэтому для скачков через поверхность о имеют
место условия
N • [Е] = -N • [Р], NX[E] = 0. (1.13.3)
Из второго уравнения (1.13.2) следует, что можно ввести
электростатический скалярный потенциал ф, такой, что
Е = -Vq>. (1.13.4)
Учитывая, что [ф] = 0 при переходе через о, ф-"-0 на бесконечности вне
2), и полагая d/dN = N-V, из первых уравнений
(1.13.2) и (1.13.3) получим уравнения
V^ = V-P в объеме 20 - о, (1.13.5)
[J^-] = N-[P] на поверхности а. (1.13.6)
В классической теории потенциала известно выражение для Ф в точке г через
источники в объеме 2)-а и на поверхности о:
ф(г) - - (4я)~' / J (V' • Р)( г - т' Г* dv' +
13>-в
где \' - оператор набла по переменной г'.
§ 1.13. Однородно поляризованные и намагниченные тела 73
Предположим, что вне 3 нет поляризации и что а, совпадает с границей дЗ
объема 3). Обозначив через + внешнюю сторону дЗ>, имеем Р+ = 0, Р = Р_ на
дЗ>. Уравнение (1.13.7) тогда принимает вид
<р(г) = _(4я)-1( J(V' • Р)1г -г' Г1
( з>
Применяя теорему о дивергенции, получаем
ф(г) = (4л)"1 5'[Р(г')' V'llr-r'f'rfo'. (1.13.9)
в
Учтем теперь, что объем 3 однородно поляризован. Тогда
V'P(r') = 0 для всех г'^3. (1.13.10)
Очевидно,
V' | г - г' Г1 = -V | г - г' Г1, (1.13.11)
где Т-оператор набла по переменной г. Учитывая уравнение (1.13.4), из
уравнения (1.13.9) найДем
Е (г) = -3 (г) • Р, (1.13.12)
где симметричный тензор второго порядка, определенный соотношением (в
символьной записи)
#>(г) = -(4яГ'(7(r)7) J|r -гТ'<*"/ =
В
= - (4я)-1 ^ (V' <8> V') I г - г' Г1 dv', (1.13.13)
в
называется тензором деполяризации. Отметим, что, хотя поляризация Р
пространственно однородна внутри объема 3, результирующее поле Е,
определяемое формулой (1.13.12), в общем случае не является однородным,
