Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
виртуальной работы внутренних сил: виртуальная работа внутренних сил для
виртуального поля скоростей "отвердевшего" материального тела равна нулю.
При помощи этой
(2.6.7)
о* (х, /) = vt (t) + Q{. (t) xt
(2.6.8)
с условиями
Vit/ = 0, Qij = -Qji, Qij k = 0 для любых x e J3;. (2.6.9)
(2.6.10)
§ 2.7. Полевые уравнения механики и отсчетной конфигурации 111
аксиомы легко показать, что энергетическая формулировка
(2.6.1), известная как принцип виртуальной работы, полностью эквивалентна
интегральным уравнениям (2.4.18), (2.4.19). Чтобы заново получить
уравнения (2.4.18), (2.4.19) из уравнения (2.6.1), рассматриваемого
теперь как исходный принцип, достаточно выбрать и рассмотреть виртуальные
поля из 9? вида щ = у" и = С другой стороны, непосредственная
локализация
уравнения (2.6.1) для произвольных полей v* сразу же дает локальные
полевые уравнения и граничное условие (2.4.20), так что нет необходимости
привлекать рассмотрение элементарного тетраэдра, если формализм,
основанный на уравнении (2.6.1), рассматривается как исходный принцип !).
Если виртуальное поле v* есть не что иное, как поле реальной скорости v
материальной точки х в момент времени t в конфигурации Xf, то из
уравнения (2.6.1) следует (звездочки снимаются!)
k(B,)==^(1) + ^(V) + ^(c). (2.6.11)
Здесь использовано соотношение
&W (Bt) = -vdm = ~ К (&t) = К (&t),
Bt
где
К (Bt) = (2.6.12)
Bt
- полная кинетическая энергия материального тела в Жг при отсутствии
внутреннего спина.
§ 2.7. Полевые уравнения механики в отсчетной конфигурации
Приведем сводку полевых уравнений механики в отсчетной конфигурации. Эти
уравнения окажутся полезными при решении разных задач о распространении
волн (см. гл. 5 и 6). Определим объект Т с компонентами TKi соотношением
ТаГЧ, т. е. TKl=JXKJtn. (2.7.1)
Обратное соотношение имеет вид
t = /-'FT, т. е. tji=r1xltKTKi. (2.7.2)
Геометрический объект Т, известный как тензор напряжений Пиолы -
Кирхгофа, имеет такие же тензорные свойства, как FT
Читатель может обратиться к нашей работе [Maugin, 1980], где принцип
виртуальной работы систематически используется с целью получить
непосредственным образом полевые уравнения в усложненных теориях
континуумов.
112
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
или F-1. Даже когда тензор t симметричен, т. е. когда справедливо
соотношение (2.4.28), тензор Т не имеет определенной симметрии, так что
должен учитываться порядок его индексов. Подставляя выражение (2.7.2) в
уравнение (2.4.21), принимая во внимание первое тождество (2.2.53),
применяя правило дифференцирования (вторая формула (2.2.53)), умножая
полученное уравнение на / и, наконец, учитывая уравнение неразрывности в
форме (2.4.5), находим, что первое уравнение движения Эйлера- Коши имеет
вид
PoY = Vr ' Т + p0f, т. е. QoXi = ТKlt к -f ро/,. (2.7.3)
При помощи такой же процедуры граничное условие (2.4.20) приводится к
виду
N • Т = sfit(n), т. е. N%Тst-t(n)i, (2.7.4)
где
s4- з= (dajdA) = J(N kCkInl)112 (2.7.5)
- отношение площадей элементарных площадок в конфигурациях X; и Жr. Вывод
уравнения (2.7.4) начинается с записи соотношения (2.4.20) в виде n-tda =
t^n)da и последующего применения уравнений (2.7.2) и (2.2.51).
В заключение добавим, что энергетическая величина (2.6.6), рассчитанная
для реального поля скоростей, с учетом уравнений
(2.7.2) и (2.3.7) получает явное выражение
JP{i) = TK^~K = ir(T?). (2.7.6)
§ 2.8. Термодинамика сплошных сред
А. Теории термодинамики сплошных сред
Перед тем как сформулировать принципы термодинамики
в том виде, какой они принимают для сплошных сред, введем
или напомним некоторые фундаментальные понятия. Назовем системой 9
некоторую часть материальной Вселенной (открытую область Е3). Дополнение
к системе ^ в Е3 называется окружением 9* и обозначается через 57ех.
Система называется замкнутой, если она не обменивается веществом со своим
окружением. Замкнутая система называется термодинамической, если ее обмен
энергией с окружением состоит только из обмена теплом и работы,
совершаемой массовыми и поверхностными силами, действующими на 9-
Термодинамическая система, не обменивающаяся энергией со своим
окружением, называется изолированной.
Термодинамическим параметром состояния называется макроскопическая
величина, характеризующая систему; она может
§ 2.8. Термодинамика сплошных сред 113
быть как скаляром, так и тензором, например температурой или тензором
напряжения. Термодинамическая величина называется экстенсивной, если для
однородной системы она пропорциональна массе системы. Если
термодинамическая величина не зависит от массы системы, то она называется
интенсивной. Имеется важный экспериментальный факт, что все
термодинамические величины либо экстенсивные, либо интенсивные. В
термодинамике сплошных сред принимается, что с каждой экстенсивной
величиной можно связать соответствующую удельную (т. е. в расчете на
единицу массы) величину, которая в свою очередь является интенсивной. Это
