Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Следующие два пункта посвящены изложению основных законов термодинамики,
на которых базируются обе теории-термодинамики, несмотря на их совершенно
разную мотивировку приверженцами обеих теорий.
В. Первый закон термодинамики
Здесь мы рассматриваем классическую сплошную среду, которая не участвует
ни в каких электромагнитных взаимодействиях. Пусть Зв0- материальное
тело, идентифицируемое с открытой областью В0 в Е3, которую оно занимает
в фиксированной отсчетной конфигурации Жк в момент времени t0. В качестве
системы возьмем некоторую часть D0 тела В0 с границей dDo и рассмотрим
эволюцию области D0 на фиксированном отрезке времени [^0,1м] ^ R- Как
показано в § 2.6, работа, совершаемая поверхностной силой t^, действующей
на dDt, и массовыми силами f, действующими на Dt, для реального поля
скоростей v(x, t) в конфигурации Х(, имеет вид (нет звездочек)
& ф{) = 9<у) (Dt) + ^(о (dDt); (2.8.1)
выражения для обоих слагаемых в этом соотношении даются формулами (2.6.4)
и (2.6.5) соответственно. По аналогии с уравнением (2.8.1) скорость
притока тепла в объем Dt можно записать в виде
Q (Dt) = J h dm + J q da, (2.8.2)
Dt dDt
где h = h(x,t) - приток тепла в объем Dt в расчете на единицу массы за
единицу времени за счет некоторых воздействий на расстоянии (например, за
счет излучения) и q = q(x,t\ п)-скорость притока тепла за счет
теплопроводности через поверхность dDt в расчете на единицу площади.
Эксперименты показывают, что для всех термодинамических процессов,
связывающих некоторое начальное состояние при t = t\ и некоторое конечное
при t = *2, [*". . интеграл
11
\[P(Dt) + 6L(Dt)]di (2.8.3)
". ь
имеет одно и то же значение, хотя интегралы ^ tP(Dt)d( и
t,
t-i
\ Q (Dt) dt по отдельности зависят не только от состояний
116
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
системы при t\ и U, но также и от конкретного процесса, связывающего эти
два состояния. Кроме того, можно заметить, что интеграл (2.8.3)
пропорционален массе системы, если последняя однородна. Эти
экспериментальные наблюдения позволяют заключить, что существует
экстенсивный параметр состояния If, называемый полной энергией системы,
такой что
i(Dt) = ^(Dt) + Q(Dt). (2.8.4)
Это соотношение есть математическое выражение первого закона
термодинамики. Разность
Е {Dt) = <8 (Dt) - К (Dt) У/t, (2.8.5)
где К {Dt) определяется соотношением (2.6.12), называется полной
внутренней энергией системы. Так как If и К - экстенсивные величины, то и
Е является таковой, и мы можем ввести удельную внутреннюю энергию е, так
что
Е (/)t)= Jerfm. (2.8.6)
Dt
Теперь уравнение (2.8.4) можно записать в виде
Ё (Dt) + К (Dt) = (Dt) + 9>{С) (Dt) + Q {Dt). (2.8.7)
Подставляя выражение (2.6.11) в соотношение (2.8.7), мы приходим к
интегральному балансному уравнению, известному как формулировка теоремы
энергии-.
E{Dt)+'?(i){Dt) = a{Dt) y/Dt a Bt. (2.8.8)
Применяя к этому уравнению соображения, связанные с тетраэдром, получим
уравнение типа (2.4.11) для переменной q\
q(x, t; n) --q(x, /) • n, x^dDt. (2.8.9)
Знак минус означает, что q есть приток тепла через поверхность dDt, так
как h есть внешняя единичная нормаль к dDt. Выполняя локализацию
уравнения (2.8.8) так, как это было сделано для (2.4.15), получаем
локальное уравнение
рё = tr (tDr) - V • q + р/ц (2.8.10)
справедливое для любой регулярной точки х в Dt.
С. Второй закон термодинамики
Первый закон термодинамики в форме (2.8.4) можно истолковать как
возможность преобразования работы в тепло и обратно с тем, однако,
условием, что полная энергия системы со-
§ 2.8. Термодинамика сплошных сред
117
храняется. Первый закон термодинамики, таким образом, не накладывает
каких-либо ограничений на направление эволюции термодинамических
процессов. Роль ограничителя играет второй закон термодинамики, который
вводит принципиальное отличие между обратимыми и необратимыми процессами.
Термодинамический процесс называется циклическим, если его конечное
состояние совпадает с начальным. Для термостатики второй закон
термодинамики выражается в виде неравенства, которое должно выполняться
для всех циклических процессов с одним и тем же начальным (при t - t\) и
конечным (при t = t2) равновесными состояниями. Это неравенство можно
записать в виде
и
B~1qda + (2.8.11)
Dt '
знак равенства имеет место только для обратимых процессов. Новая функция
0 = 0(хД)> входящая в уравнение (2.8.11), есть строго положительная
скалярная величина:
0>О, inf 0 = 0. (2.8.12)
Эта величина называется абсолютной температурой и считается однозначной
функцией для всей области Dt и всех моментов времени <е[/оДм]- Величина
0-1 играет роль интегрирующего множителя для скорости притока тепла,
получаемого телом.
Формулировка второго закона термодинамики в виде (2.8.11) позволяет
ввести для термодинамически равновесных состояний новый параметр
состояния - энтропию. Конечно, он определяется с точностью
до произвольной аддитивной постоянной.
Точнее, можно ввести разность значений энтропии системы между двумя
