Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
внутренняя диссипация, так что в дальнейшем мы будем использовать в
основном неравенство (2.8.18).
120
Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
слишком большой произвол в постулированных таким образом определяющих
уравнениях. Перед тем как развить эту схему, мы кратко рассмотрим срособ
получения определяющих уравнений на основе ТИП.
§ 2.9. Формулировка определяющих уравнений на основе теории необратимых
процессов
Следуя вышеуказанной аксиоме локального равновесия, предположим, что в
данный момент времени t с каждой точкой в Bt можно, как и в случае
термостатики, связать определенное состояние с удельной энтропией р и я-
мерным вектором v, компоненты va (а = 1, 2, ..., я) которого выражают
другие независимые параметры состояния. В частности, удельная внутренняя
энергия е в данный момент времени t полностью определяется текущим
значением этих величин:
е = ё(% v). (2.9.1)
Термодинамическая температура 0 и я-мерный вектор т с компонентами тя,
а=1, 2, ..., я, выражающий термодинамическое напряжение, определяются
соотношениями
0 _ дё (Tl> v)
Зт)
т __ дё (Т), у)
v = const
(2.9.2)
1]^ const
Эти соотношения являются уравнениями состояния. Их конкретный вид, как и
обоснованность, устанавливается при помощи аналогичных соотношений,
справедливых для термостатики, в которой внутренняя энергия играет роль
потенциала, и при помощи аксиомы локального равновесия, распространяющей
эти соотношения на неравновесные системы.
Для описания необратимых процессов уравнения состояния нужно дополнить
уравнениями, описывающими диссипативные процессы. Чтобы их найти,
перепишем неравенство (2.8.18) в виде
0у = 0f| - ё + р-1 tr (tDr) - (р0)-1 q • g ^ 0, (2.9.3)
где у - скорость производства удельной энтропии.
Вторая гипотеза, которую мы сейчас примем, касается выбора переменных,
предписываемого я-мерным вектором v. Заметим, что уравнение (2.9.3) можно
переписать в виде
6у = X • Y>0, (2.9.4)
где X - вектор обобщенных сил, a Y - соответствующий сопряженный вектор в
векторном пространстве обобщенных потоков. Согласно ТНП, предполагается,
что по крайней мере в малой окрестности состояния термодинамического
равновесия X и Y
§ 2.9. Формулировка определяющих уравнений 121
связаны линейным соотношением
X = /4 [Y] = AY, (2.9.5)
где А - линейный оператор. Уравнение (2.9.5) и представляет искомые
дополнительные соотношения. Добавим еще, что при помощи микроскопических
рассмотрений можно показать, что матрица А удовлетворяет соотношениям
симметрии Онзагера - Казимира1*
А -Аг (2.9.6)
без учета процессов с намагниченностью. Подставив выражение
(2.9.5) в неравенство (2.9.4), получим условие
Sb (Y) = Y • AY = A [Y, Y] > 0, (2.9.7)
которое показывает, что диссипативная функция ?>(Y) должна быть
неотрицательной квадратичной формой от Y.
Чтобы сравнить результаты, полученные по изложенной схеме, с
соответствующими результатами теории Колемана, применим1 ее для трех
частных случаев.
(а) Во-первых, рассмотрим случай изэнтропических и адиабатических
процессов, для которых
т\ = 0, p/z - V • q = 0. (2.9.8)
В качестве параметров состояния va выберем компоненты градиента
перемещения F. Тогда e = e(r\,F) и
дё (т), F)
(2.9.9)
rj-const
Следовательно, % - тензор второго порядка и имеет тот же тип симметрии,
что и тензор F. Уравнение (2.8.10) с учетом второго из уравнений (2.9.8)
принимает вид
рё = tr (tDr) = {tnXK> г) хи к. (2.9.10)
Сравнив это уравнение с уравнением a = tr(TrF) и учитывая произвольность
F, получим
\п = р (Ft*)/, = 9Xji к ¦ (2.9.11)
Очевидно, т -р-'Т7-. Уравнение (2.9.11) является определяющим уравнением
для тензора напряжений в нелинейно упругих материалах. Подставляя далее
первое выражение (2.9.8) и
о Полный вывод соотношений симметрии и их микроскопическое обоснование, а
также их применение для намагничивающихся материалов можно найти в книгах
[de Groot, Mazur, 1962; Woods, 1975].
122 Гл. 2. Элементы механики сплошных сред
(2.9.10) в (2.9.3), найдем
eY = -(p0)-"q.g>O. (2.9L12)
Очевидно, что сомножители -(p0)_!q и g играют роль обобщенного потока и
обобщенной силы соответственно. Тогда, согласно уравнениям (2.9.5) и
(2.9.6), имеем
= = (2.4.13)
где тензор Kf/ имеет неотрицательно определенную квадратичную форму.
Полученное уравнение называется уравнением теплопроводности Фурье для
анизотропных материалов.
(Ь) Теперь рассмотрим более общий случай, когда Уравнение (2.9.10)
имеет место и без ограничений (2.9.8). Действуя, как и ранее, используем
разложение тензора t на "обратимую" часть st, которая совершает только
обратимую работу (см.
(2.9.11)), и на "диссипативную" часть, приводящую к7диссипации энергии,
т. е. t = Rt flt. Из уравнений е - ё (q, F) и (2.9.11) следует, что
i = 0^ + p",tr("tDr). (2.9.14)
Подставляя это выражение в уравнение (2.9.3) и принимая во внимание
разложение тензора t и симметрию st, получаем
0у = р-1 tr (DtDr) - (p0)_1 q • g ^ 0. (2.9.15)
Сравнивая уравнения (2.9.15) и (2.9.4), обнаруживаем, что дополнительные
