Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Е - ixi, к *** №tk + ut> и) ^д},
E = {Ekl = etfltKbIL}, e = Vs [Vu + (Vuf], (7.4.4)
P ~ Po(! - tre),
где u - бесконечно малое перемещение. В результате для электрических
характеристик имеем
^ = {^д = лАд ~ Ро '^Ад}'
П = = я/. р6/ь6рд ~ Ро lpi, рб/ьбрд}-
§ 7.4. Линейная теория ионных кристаллов
451
Все компоненты u, Vu, Р и VP, как и Е, VE, <9u/<91, дР/дt и дЕ/dt,
считаются бесконечно малыми первого порядка, т. е. 0(e). Поэтому
произведения любых двух из них - бесконечно малые второго порядка, т. е.
0(е2), и их можно выбросить и из полевых, и из определяющих уравнений.
Это, в частности, означает, что
u ifL",*L = p-ip (7 4 6)
dt dt u' dt dt
где точка над символом означает теперь частную производную по времени.
Аналогично устанавливается, что пондеромоторная сила и момент имеют
порядок 0(е2). То же относится и к слагаемым, порожденным
"взаимодействиями", в тензоре напряжений Коши. В результате имеем
div t + f =р0и, (7.4.7)
t = o = tr. (7.4.8)
Межмолекулярное балансное уравнение в квазиэлектростатике с той же
степенью точности принимает вид
Е + LE + р'^1 div == (dB/p0) Р, (7.4.9)
а определяющие уравнения (7.3.96), (7.3.91) и (7.3.97) с учетом
(7.4.8) преобразуются к виду
*=¦"=(#)"=*''• <7А10>
-'Е =¦(§•)"• <7-411>
'E. = p"(iw);; (7.4.12)
здесь правый индекс "нуль" означает, что вычисляемые производные
являются самое большее линейными функциями по переменным
(7.4.3), а их коэффициенты берутся в состоянии
So.
Мы здесь считаем, что величина
? = Рое = ?(е, Р, VP) (7.4.13)
является внутренней энергией единицы объема. Соответственно этому, из
линейности (7.4.10)-(7.4.12) очевидно, что функция ? самое большее
квадратичная по своим аргументам, т. е.
? = -1 {2 tr [Ь° (VP)] + 2 tr (ее) + е (Се) + Р • (а • Р) +
+ (VP) • [Ь (РРП + 2 (РР) • (de) + 2Р • [g (FPf] + 2 (ef) • Р).
(7.4.14)
29*
452 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
Введенные здесь материальные тензорные коэффициенты (постоянные)
удовлетворяют следующим очевидным условиям симметрии:
о. = , C(ij) (ki) - Ckiij, а = аг, (7.4.15)
Ьцы = bklii, dkij i = d-ku/ i ftik==fjik- (7.4.16)
Линейные определяющие соотношения для зависимых переменных (7.4.10) -
(7.4.12) имеют вид
tn - au + Ct№eki + filkPk + dknjPit k,
LEi - ~ (aijPj + gikiPi, k + fkuekt)> (7.4.17)
Po 1 = + gkijPk "b k "b djiklekl.
Граничные условия, соответствующие уравнениям (7.4.7) и (7.4.9),
очевидно, записываются в виде (iis^O)
n't = V Po"'n • х'Е = я5. (7.4.18)
Простейшая линейная теория электроупругости получается, если пренебречь
однородными напряжениями (а = 0), инерцией поляризации (^? = 0) и
градиентами поляризации. Единственное остающееся электромеханическое
взаимодействие представляется коэффициентом fku (пьезоэлектричество).
Если материал имеет центральную симметрию, то и этот эффект исчезает (см.
гл. 4). В противоположность этому линейные уравнения (7.4.17) допускают
существование линейного электромеханического взаимодействия
(представленного коэффициентом tibia) даже в материалах с центральной
симметрией, например для галогенов щелочных металлов. Заметим, что
тензорные коэффициенты bijki и йцы в соотношениях (7.4.17) - не Гуковские
тензоры (т. е. они не имеют некоторых свойств симметрии коэффициентов
Cilki). Далее (§ 7.5-7.9) мы будем предполагать, что а = 0 и что для
ионных кристаллов нет необходимости учитывать инерцию поляризации Р.
Здесь мы рассмотрим только два широких класса материалов с центральной
симметрией (кубические кристаллы с центральной симметрией и изотропные
материалы).
В. Кубические кристаллы с центральной симметрией
В этом случае к множеству допустимых операций симметрии относится
отражение относительно некоторой точки, и это выражается главным образом
в исчезновении всех материальных тензорных коэффициентов нечетного
порядка. Таким образом,
fijk = gtik - 0-
(7.4.19)
§ 7.4. Линейная теория ионных кристаллов 453
Следовательно, кристаллы из этого класса не проявляют пьезоэлектрических
свойств и не имеют прямой связи между электрической поляризацией и ее
градиентом- В качестве примера рассмотрим кристалл, принадлежащий
кубической точечной группе тЗт (по международной кристаллографической
классификации) или Оп (по классификации Шёнфли). Образующие
соответствующей группы симметрии в Е3 представляются следующими тремя
матрицами:
; -1 о 0] "0 о 1] [-1 о 01
' I 0-1 О ', j 1 О О . I 0 0 1. (7.4.20)
L _ о 0 -1 J Loo 1 J L о -1 О -
Условие инвариантности ненулевых тензорных коэффициентов Ь°, а, С, b и d
из выражения (7.4.14) относительно трех пространственных преобразований
(7.4.20) требует, чтобы эти тензоры имели следующую частную форму
(теоремы представления даны в работах fChowdhury, Glockner, 1976, 1980]):
6;/ = Мгь ai, = a6ih (7.4.21)
Cml = c06ij!ti -(- с12б?,б6г + c44 + 6jk8ii), (7.4.22)
Ьцы - b8ijht -f- -(- 644 {bikbji + 8jk8n) + bv (8ik8ji б^дц),
(7.4.23)
duki = dbljki + di28ij8k[ + du (8lk8ji + 81к8ц); (7.4.24)
здесь учтены наложенные ранее условия симметрии (7.4.15). Таким образом,
