Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
(2.6.10) имеем
Оц = 0->¦ v{ = Q{jXj + V t, Q ij = - Qji, -0, Vtj = 0, лг = 0 ->Лг =
0(/Я/, (7.2.7)
П,-/ = 0 -> (Л/),/ или {ni - Qiknk)i! = 0.
Равенства во второй и третьей строчках (7.2.7) означают, что в обобщенном
движении твердого тела вектор поляризации единицы массы вращается с той
же скоростью, что и отвердевшее тело. Поэтому этот вектор, можно сказать,
вморожен в тело. Следовательно, при движении твердого тела деформируемое
вещество отвердевает, а диэлектрические взаимодействия замораживаются и
не производят какую-либо работу.
Формулировка принципа виртуальной работы
Как и в ранее исследованных случаях (§ 2.6, 3.9 и 6.3), интегральная
формулировка принципа виртуальной работы для тела J?, занимающего область
Bt физического пространства Е3 в конфигурации Жt с регулярной границей
dBt с внешней единичной нормалью п, записывается в виде
(Bt)=И> (Bi) + П* (в*) + Н> (дВ*У <7-2-8>
где различные члены представляют собой соответственно полные виртуальные
работы ускорения или сил инерции, внутренних сил, объемных или
"действующих на расстоянии" сил и контактных сил. При записывании общего
выражения (7.2.8) для поля скоростей (7.2.1) предположим, что: (i)
диэлектрическим взаимодействиям сопутствует инерция, и эта инерция
представляется скаляром de', (И) механическое действие электро-
магнитных полей (в данном случае Е или & в собственной системе отсчета)
проявляется через объемные и поверхностные пондеромоторные силы,
выражения для которых найдены в § 3.3 и 3.4; (Ш) в соответствии с § 3.3
электрическая поляриза-
§ 7.3. Нелинейные полевые и определяющие уравнения 437
ция в поле IS производит в единице объема работу -я; (iv) на поверхности
dBt имеется поверхностная плотность яя электрических диполей. С учетом
всех этих рабочих гипотез можно записать
^d) t) - ) P(t) dv' Bt (7.2.9)
^\a) (Bt) = 5 p (v ¦ v' + <4я • я*) dv, Bt (7.2.10)
(Bt) = 5 l(t + fem) • V* + pi • (я)*] dv, Bt (7.2.11)
0\c) (dBt) = ^ [(t(n) + t(tm)) • v' + ря5 * (я) J da; dBt (7.2;12)
здесь f и Т- чисто механические объемные и поверхностные силы. Тензор Т
также называется механическим натяжением. Интегральную величину
^(d) {Dt) = ^ - v dv + ^ (t(n) • + ря5 • я) da, (7.2.13)
Df 0Df
в выражение для которой не входят максвелловские электромагнитные поля Е
и В, составляющие часть решения корректно поставленной задачи, можно
назвать истинной работой заданных сил (индекс d означает "data" -
заданный).
§ 7.3. Нелинейные полевые и определяющие уравнения
А. Локальные электромеханические полевые уравнения
Если предположить, что интегральная формулировка
(7.2.8) справедлива для любых независимых регулярных полей виртуальных
скоростей v* и (я)*, так же как и для любых элементов объема и
поверхности в Bt я dBt соответственно, то после подстановки (7.2.5) и
(7.2.6) и применения теоремы о дивергенции, когда это необходимо, получим
две следующие системы из локальных полевых уравнений и соответствующих
граничных условий:
pv = div t + f + fem во всех (7.3.1)
n • t = t(n) + tw во всех x e dBt, (7.3.2)
dEn = <8 -f + p-1 div Ч: во всех xeBj, (7.3.3)
р_1п-?,Е = я5 во всех х е dBt; (7.3.4)
438 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
здесь мы определили несимметричный тензор напряжений Коши t соотношением
tji = ар + t'[ji], (7.3.5)
где компоненты тензора напряжений "взаимодействий" tint ¦определяются по
формуле
tf=--9^Elni~%inip. (7.3.6)
Уравнение (7,3.3)-это локальное балансное уравнение для поля
электрической поляризации. Из-за его сходства с уравнением, полученным в
работах Фойгта [Voigt, 1899, 1928], мы будем называть его балансным
уравнением для межмоле-кулярной силы [Maugin, 1976, 1977а]. Уравнение
(7.3.4) - соответствующее этому уравнению граничное условие. Уравнение
(7.3.1) - локальная форма уравнения баланса импульса, котсфая также
называется первым уравнением движения Эйлера- Коши. Уравнение (7.3.2)-
соответствующее граничное условие. Второе уравнение движения Эйлера -
Коши, вы-. ражающее локальный баланс момента импульса, получается, если
взять антисимметричную часть от обеих сторон уравнения (7.3.5):
hin = tTnY (7.3.7)
Тензор напряжений Коши, вообще говоря, несимметричен.
Замечания. О только что полученных уравнениях нужно ¦сделать несколько
замечаний. Сначала следует отметить, что для введения понятия тензора
напряжений не привлекались соображения, связанные с рассмотрением
тетраэдра. Далее, в рамках данной нелинейной теории было показано, что
все взаимодействия априори входят в общее выражение для тензора
напряжений Коши. Это непосредственно следует из введения объективных
скоростей изменения во времени (7.2.2). Выражение (7.3.6) показывает, что
тензор напряжений Коши может быть сильно нелинеен по поляризации, а
добавочное слагаемое в тензоре напряжений, связанное с tint, войдет, за
исключением случая полностью линейной теории, даже в линеаризованную
теорию, когда имеются интенсивные начальные поля (такова ситуация в
