Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
ЖR, и заметив, что плотности вещества р и р0 связаны
урав-
442 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики нением
неразрывности
Р = 7ро (Ро = 0), (7.3.29)
где / - якобиан перемещения, а также введя производные с учетом переноса
Р и (см. уравнение (2.3.47))
ягу = [Dc (Vjt)]i7 = яij + яг> kvk> j - vit knk>,, (7.3.30)
неравенство (7.3.25) можно переписать в следующей более удобной форме:
- г1{± + рйчЪ) + ^оИ-ьЕ ¦ v-%1кц-ъ~хч- ve>o, (7.3.31)
так как
p(D]a)i = Ai-\- DijAj, А = ра. (7.3.32)
Замечание. Упрощенные теории
Если пренебречь как инерцией поляризации, так и ее градиентами, то
уравнения (7.3.3) и (7.3.7) перейдут в уравнения
= -i, (7.3.33)
t = t?-/(g)P, (7.3.34)
а из уравнений (7.3.1) и (7.3.31) будут следовать уравнения
(4.2.2) и (3.6.15), так что мы приходим к стандартной теории нелинейно
упругих диэлектриков гл. 4.
С. Уравнения в материальной системе отсчета
При исследовании процессов с конечной деформацией удобно иметь дело с
полевыми уравнениями, когда они все записаны в материальной
формулировке, т. е. перенести все эти уравнения в отсчетную
конфигурацию Ж р. Это уже было сделано
для полной нестационарной системы уравнений Максвелла в гл. 3. То же
самое можно сделать и с системами (7.3.1), (7.3.2) и (7.3.3), (7.3.4)
полевых уравнений; новая форма уравнений окажется полезной при
исследовании распространения волн. Начнем с определения тензоров Пиолы -
Кирхгофа:
T%t = JXK, frt, L&Ki = JXK, j %i. (7.3.35)
Умножив каждое из уравнений (7.3.1) и (7.3.3) на /, приняв во внимание
тождество (2.2.53) и введя символ для записи дивергенции в Жр, перепишем
уравнения (7.3.1) и s(7.3.3) в виде
Pox' = /(f + fem) + V*-T, (7.3.36)
dB? = g+L Е + р0-%.*(r); (7.3.37)
§ 7.3. Нелинейные полевые и определяющие уравнения 44$
при этом было учтено соотношение (7.3.23). Аналогично, положив
rEKi = JXK, ,tfh = JXK, itf, (7.3.38).
ПK=JXK ipi, TIlk ~ %к, {П1г L = X^t jXjt l, (7.3.39)
Gk - 0, ixi, к - 6, к, QK = JXK,tqu (7.3.40)
имеем
Т = Т? + ГЫ; (7.3.41)
замечая, что, согласно (2.3.12) и (2.3.52),
Ёкь ~ xi, L,
*
tlK = JXK>iPi, ^LK~^K,i^HXi,Ly
(7.3.42)
можно показать, что уравнения (7.3.19) и (7.3.31) можно переписать в виде
р0е = SeklEkl - lEkПк + Е(r)ькПкс - V"Q + р0Й, (7.3.43)
- Ро (ф + TJ0) + SEklEkl - LEKilK + L@L/cfl/ci ~ e 'Q • v*0> 0,
(7.3.44)
где
S$;l = TEkiXl, i, LEK = LEiXi,K, L&LK = LkuXK,i. (7.3.45) Если положить
F = Л, (7.3.46)
то с учетом уравнений (7.3.39) и (7.3.42) мы можем переписать уравнение
(7.3.36) в виде
р0х = V* • Т + F + 1 (Fft) X В + (П • V*) §. (7.3.47)
Наконец, граничные условия преобразуются таким же
образом (ср. § 2.7). Вместо соотношений (7.3.2) и (7.3.4) мы получаем
следующие соотношения в материальной формулировке:
NKTKl = TiN)i + TeNm{{), (7.3.48)
NK.L*&Ki = 0 (если jts = 0), (7.3.49)
где
причем
(7.3.50)
rw,- = /(N-C '-N)il2tin)h T^)i = wf(i)+((ll)-N) \§ ,
wf = /(N-C~l -Ny/2wf. (7.3.51)
444 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
D. Сводка уравнений
Наряду с уравнениями Максвелла (3.2.90), специализированными на случай
диэлектриков, с соответствующими им граничными условиями мы имеем полную
систему из полевых и термодинамических уравнений в материальной
формулировке. Эта система уравнений имеет вид
(i) Первое уравнение движения Эйлера - Коши :p0x' = V* .Т + р + -1(РП)ХВ
+ (П.уЛ)/ в В0, (7.3.52) N • Т = Т(дг) + T(N) на дВ0 (7.3.53)
вместе с соотношениями
Т = Iе + Tint, Г$ = Пк% - Пkll<&u. (7.3.54)
^ii) Уравнения для изменения поляризации
dETi = i+L Е + р0-%--Ч? в В0, (7.3.55)
N•^ = 0 на дВ0 (я5 = 0). (7.3.56)
(iii) Уравнения Максвелла (ср. с уравнениями (4.2.15))
v*X@ + !" = o, V*-33 = 0,
! . (7.3.57)
V*X?-7$ = 0, V*-2> = 0
в B0 и вне В0
Граничное условие, соответствующее последнему из уравнений Максвелла,
имеет вид
N •[(c)] = 0f на dD0, (7.3.58)
где Wf определено соотношением (7.3.51), a Wf - функция х и t.
Выписанная система уравнений из дифференциальных уравнений в частных
производных будет замкнута тогда и только тогда, когда для полей Т?, LE и
или, что эквивалентно, для полей, определенных соотношениями (7.3.45),
заданы определяющие уравнения, эти полевые величины вместе с энтропией Ti
и вектором потока тепла Q должны удовлетворять следующим соотношениям.
(iv) Уравнение энергии
Роё = SklEkl - + L&ki№lk; - Vr • Q + Ро^ в Аь (7.3.59)
§ 7.3. Нелинейные полевые и определяющие уравнения 445
(v) Неравенство Клаузиуса - Дюгема
- Ро ОФ + Л(r)) + SKlEkl - LEK liK + l^kl^lk ~
-0_1(Q- VR)0>O в B0. (7.3.60)
Таким образом, если в области Bt заданы величины F и h, а на границе dBt
- величины Wf и t(n)i, мы в состоянии решить теоретически корректную
электромагнитотермомеханическую задачу тогда и только тогда, когда
определяющие уравнения определены для множества переменных
Л = {S = Ро'ф, ч, S$l, LEk, L(r)kl, Qk\K, L= 1, 2, 3}. (7.3.61)
При отсутствии диссипативных процессов полную нелинейную систему
уравнений (как полевых, так и определяющих) можно вывести из
