Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
сегнетоэлектриках, см. § 7.9). Для обобщенных внутренних сил а, 'Е и 4 в
рамках феноменологического подхода нужны определяющие уравнения. Для
этого должны быть развиты исключительно термодинамические аспекты теории
(см. ниже). Однако, хотя нас будет в основном интересовать
термодинамически полностью обратимое описание (упругость), отметим, что
эти три полевые величины о, LE м LE, вообще говоря, имеют как
диссипативные, так и не-
§ 7.3. Нелинейные полевые и определяющие уравнения
439"
диссипативные составляющие. В частности, если вязкость - диссипативный
процесс, естественно связанный с о, то диэлектрическая релаксация -
диссипативный процесс, связанный с LE. Результаты (7.3.5) и (7.3.6)
показывают, что в самом общем случае диэлектрическая релаксация дает
вклад в тензор напряжений Коши. Это следствие нелинейной теории было
впервые указано автором [Maugin, 1977а]. Наконец, надо сказать, что
настоящий в чем-то формальный подход позволил нам избежать рассмотрения
замысловатых и изобретательных моделей взаимодействия, чтобы получить
достаточно простую, но с глубоким содержанием феноменологическую теорию
(ср. модель, введенную в работе [Maugin, 1979b), и модель, использующую
понятие внутренних координат в работах Нельсона и Лакса, см. [Nelson,
1979]).
В. Термодинамика
На феноменологическом уровне (§ 2.8) два фундаментальных закона
термодинамики в интегральной форме записываются следующим образом.
Первый закон термодинамики
~ [К (Bt) + Е (Bt) + t/em (Е3)] = <?{d) (Bt) + Qh (Bt). (7.3.8)
Второй закон термодинамики
±-mBt)>jrm,
где
К (Bt) = \pkdv, k = ^ (v2 + dEn\
Bt
E (Bt) = J pe dv,
Bt
N(?f)= J 94dv,
Bt
Qh (Bt) = ^ ph dv - ^ q • n da,
Bt dBt
Jf (Bt) = ^ per dv - ^ Ф • n da
Bt dBt
- соответственно полная кинетическая энергия, полная внутренняя энергия,
полная энтропия, полный приток тепла и полный приток энтропии для
материального электрически^
(7.3,9)
(7.3.10)
(7.3.11)
(7.3.12)
(7.3.13)
"40 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики 1
поляризующегося тела, занимающего открытую область Bt про- | странства
Е3. Здесь k, е, тр h, q, а и Ф - кинетическая энергия : ¦единицы массы,
внутренняя энергия единицы массы, энтропия I единицы массы, приток тепла
к единице массы, вектор потока : тепла, приток энтропии к единице массы и
вектор потока ' энтропии. ;
Для диэлектриков интегральное тождество (3.3.67) прини- i мает вид
~Uem(Bt) = - ^ (fem- v + p^- n)dv - ^ (t(i?> • v + 9>~ • n) da. j
в, dBf i
(7.3.14) i
Для области-дополнения к телу в пространстве Е3, в котором поляризующее
вещество считается отсутствующим, это тождество сводится к равенству
-ft- V*m (Е3 - Bt) = 5 • V + ¦ n) da. (7.3.15)
dBf
Комбинируя уравнения (7.3.14), (7.3.15) и принцип (7.2.8),
записанный для реальных скоростей (нет звездочек) в виде
^(a)(Bt) = ~K(Bt)=.
= ^(0 (Bt) + Pd (Bt) + J (fm • V + pi- я) dv + \ (t$ • v) da
Bt 9Bt
(7.3.16)
•с учетом (7.3.8) приходим к теореме энергии для всего тела Bt:
-J- Е (Bt) + 9>щ (Bt) = Qh (Bt) + Qem (Bt), (7.3.17)
з\Це
Qem (Bt) = - J 9> ¦ n da, (7.3.18)
dBt
В последнем уравнении нет объемного источника, так как
реальный ток проводимости отсутствует. Локализация урав-
нения (7.3.17) приводит к уравнению
рё = рр) - V • q + ph., (7.3.19)
тде
5 = q + ^. (7.3.20)
§ 7.3. Нелинейные полевые и определяющие уравнения 44 Е
Остается преобразовать интегральное неравенство (7.3.9). Для этого
предположим в согласии с классической термодинамикой
от = й/0, Ф = q/0, (7.3.21>
где 0 - термодинамическая температура, такая, что
0>О, inf 9 = 0. (7.3.22).
При рассмотрении сегнетоэлектриков мы должны считать, что 0-С 0с, где 0с
- температура фазового перехода в состояние-сегнетоэлектрика. Итак, мы
получили пример феноменологической модели, в которой поток энтропии
отличается от отношения потока тепла к температуре (другие примеры можно
найти в феноменологических теориях жидких смесей и сверхтекучего гелия).
Учитывая далее тот факт, что
-¦ ^ рЛ dv = ^ рЛ dv, (7.3.23)
а а
и соотношения (7.3.19), (7.3.21), а также введя свободную*
энергию в расчете на единицу массы ф по формуле
ф = е - г)0, (7.3.24)
найдем локальную форму неравенства (7.3.9), а из нее следует так
называемое неравенство Клаузиуса - Дюгема в виде
- Р (Ф + Л0) + P(t) - 0~ q • V9 > 0. (7.3.25)
Это есть локальная формулировка второго закона термодина-
мики, которую можно понимать как условие, которому должны удовлетворять
q, q и обобщенные термодинамические силы a, LE, LE в любом
термодинамическом процессе. Эти неравенства или одна из его эквивалентных
форм будут использованы ниже.
В этом месте представляется удобным ввести симметричный тензор
напряжений \Е, который мы будем называть "упру-
гими> тензором напряжений, по формуле
tfi = ay - р LE(j щ -f Ltkuni). k = tfj, (7.3.26)
так что равенство (7.3.5) преобразуется к виду
tp = tfi + tfi. (7.3.27)
При помощи этой же подстановки, положив
2 = Роф, (7.3.28)
где ро - плотность вещества в отсчетной конфигурации тела
