Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
через "S, например, при помощи некоторого приложенного извне поля.
Исчезновение этого поля приведет к деформации и поляризации кристалла в
окрестности 5 с появлением соответствующей поверхностной энергии
поляризации и деформации. Будет показано, что эта энергия всегда
отрицательна.
Говоря в общем, энергия, необходимая для разделения ионно-
кристаллического тела на две части вдоль поверхности S,- это так
называемая энергия связывания, из которой нужно вычесть абсолютную
величину поверхностной энергии деформации и поляризации. Первая энергия
не учитывается при обычном феноменологическом описании, но она,
естественно, возникает в динамике решеток (см. § 7.4). Сопутствующую
поверхностную энергию в феноменологическом подходе можно вычислить
следующим образом. Умножив скалярно уравнения
(7.4.76)! и (7.4.62) 2 на и и Р соответственно, умножив (7.4.76)3
30*
468 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
на ф, проинтегрировав по частям, где это необходимо и сложив все три
полученных уравнения, получим при Е0 = 0:
0 = V • (t • u + р-1 LE • Р + ФЕ) + LE • Р -
-{tr(te) + p0-1tr[?E(VP)H}-2(E. Р + '/2Е2) + Е0- Р. (7.5.1)
Проинтегрировав это уравнение по области В, в которой все переменные
непрерывны, разделив результат на два и применив теорему о дивергенции и
граничные условия (7.4.77), с учетом (7.4.82) найдем
W(B) = ±\tr[b^VV)}dv + ±.\(i.u + b0.Y>)dv+±- J tw-uda;
в в ев (752)
здесь W (В)- полная статическая энергия в В, т. е.
W(B)= J (S + ~E2+E • P)rfu. (7.5.3)
в
При отсутствии приложенных извне сил и полей, т. е. когда Fex ={!, tn,
Е0) = 0, при помощи теоремы о дивергенции из
(5.7.2) находим, что
WS = W (В) |F**=0 = J da, (7.5.4)
дВ
где плотность поверхностной энергии деформации и поляризации ws равна
ws = Van • (Ь° • Р) |ав. (7.5.5)
Легко показать, что величина (7.5.4) всегда отрицательна.
Действительно, с учетом (7.5.3) уравнение (7.5.4) можно пере-
писать в виде
0 = Ws + J { (¦j Е2 + Е • Р) + S - tr [b° (VP)]} dv. (7.5.6)
в
Объемный интеграл здесь всегда положителен. Поэтому
Ws < 0. (7.5.7)
В случае материалов с центральной симметрией (кубической или изотропной)
с учетом (7.4.81) имеем
Ws - Vs&0 (Р • п) \дВ, Ь0 < 0. (7.5.8)
Численные значения Ь0 для различных кристаллов галогенов щелочных
металлов приведены в табл. 7.4.2.
§ 7.5. Поверхностные эффекты в ионных кристаллах 469
В. Задачи со свободной поверхностью
Проиллюстрируем некоторые поверхностные эффекты на примере задачи о
равновесии изотропного тела в отсутствие внешних полей f и Ео. Внутри
объема тела имеют место статические уравнения (7.4.76) при f = Ео == 0.
Вне тела В справедливо электростатическое уравнение Максвелла
V2cp = 0, хеЕ3-В" (7.5.9)
Граничные условия на дВ имеют вид (7.4.77).
Удобно ввести так называемые разложения Гельмгольца векторных полей и и Р
по формулам
u=V^ + VXH, V-H = 0, (7.5.10)
Р = У/ + У X К, V • К = 0, (7.5.11)
где ф и х-скалярные потенциалы, а Н и К-бездивергент-ные векторные
потенциалы. Подставив (7.5.10) и (7.5.11) в
(7.4.76), получим следующую систему из расщепившихся линейных однородных
уравнений на В:
(У2 - ЯГ2) У4Ф = 0, (7.5.12)
(У2-Я2~2)У4Н = 0, У-Н = 0, (7.5.13)
(У2-ЯГ2)У2х = 0, (7.5.14)
(У2 - Я2"2) У2К = 0, У-К = 0, (7.5.15)
(У2-ЯГ2)У2Ф = 0; (7.5.16)
при этом уравнение (7.5.9) справедливо в области Е3 - В. Здесь мы ввели
фундаментальные масштабные длины %\ и Я2:
Я2-_ ~ (rfl'/Cl1) Д,2 _ (&44 + ьп) ~ (b4i/cu) _ (7 5 17У
1 1+а ' 2 а > \ г
при этом имеют место соотношения
сп = ci2 + 2с44, dn - d\2 + 2^44, Ьц = bi2 + 2й44. (7.5.18)
Положительная определенность строго квадратичной части
функции 2 позволяет показать, что определенные выше вели-2 2
чины Я] и Я2 действительно положительны. Типичные значения Я) и Я2 для
галогенов щелочных металлов найдены в работе [Askar et al., 1971] из их
модели динамики решеток. Для NaCl Я1 " 0.73-10-8 см и Я!" 1.99 ¦ 10-8 см.
Соответствующие значения для КС1: Я1 " 0.93-10-8 см и Я2 " 2.22-10"8 см.
В обоих случаях Я2 > 2Яь
470 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
Задача о полупространстве. Мы подходим к этой задаче с намерением
продемонстрировать существование поверхностной энергии. Эта задача
рассматривалась в работе [Mindlin, 1970] для случая кубических кристаллов
с центральной симметрией. Мы будем здесь рассматривать решение для случая
полной изотропности; этого совершенно достаточно для наших целей, так как
оно фактически аналогично решению Миндлина (см. [Askar et al., 1971]).
Пусть ионный кристалл занимает область В = {х, ^ 0} пространства Е3; оси
х2 и хъ лежат на граничной свободной поверхности кристалла дВ. На
свободной поверхности дВ граничные условия (7.4.77) принимают вид
*п = *12 = '.з. ^11 = % = % = 0, (ф,+1 -<p;i) + ^i = °- (7.5.19)
Разумеется, считается, что все полевые величины регулярны в
бесконечности. Вследствие симметрии задачи можно предположить, что
5 = {(ф, X, ф) = (Ф, X, ф) (*i); Н = К = 0}. (7.5.20)
Подставив эти выражения в (7.5.12) - (7.5.16) и предположив совместность
