Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Можен М. -> "Механика электромагнитных сплошных сред" -> 168

Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.

Можен М. Механика электромагнитных сплошных сред — Москва, 1991. — 560 c.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка): mehanikaelektromagnitnihsploshnihsred1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 162 163 164 165 166 167 < 168 > 169 170 171 172 173 174 .. 207 >> Следующая

тензор Ь° теперь не просто симметричен: он изотропен. Символ бцы в
соотношениях (7.4.21) - (7.4.24) равен единице, когда все его индексы
одинаковы, и нулю в противном случае- Всего имеется двенадцать
материальных коэффициентов Ьо, а, Со, сi2, С44, Ь, Ь\2, 644" d, di2, ^44,
677. Через следующие линейные комбинации можно определить коэффициенты
Си, Ьп и dip.
сп = со + С\2 + 2с44, bn = b + bl2 + 2b44, dn = d + di2 + 2f/44.
(7.4.25)
Обозначив
2S = tr [b° (VP)] = 60V • P, (7.4.26)
мы можем определить строго квадратичную часть функции 2, а именно
2" = 2-2s = 2?(e, Р, VP) = S9l(P) + S,2(e, VP); (7.4.27)
разделение функции на составляющие 2?i и 2?2 очевидно. Необходимо, чтобы
строго квадратичная часть функции 2 была
454 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
положительно определенной, т. е.
2, > 0 для любых Р, е, VP, (7.4.28)
или с учетом (7.4.27)
а > О, 2,2 > 0 для любых е, VP. (7.4.29)
Функцию Ъ/,2 можно записать в следующем виде:
= Т { ? (bPl t + С0еЬ + dPi, ieii) + bn (V • P)2 +
*•1=1 " ~ ~
+ 2644P(?, j)P(i, 1) + 2byiP[it j]P\i, j] -f- c12 (tr e)2 + 2c44 tr e2 +
+ 2dl2 (V • P) (tr e) + idAiPu, "еч }. (7.4.30)
Таким образом,
s?2= Z aagJaJe>0, (7.4.31)
a, P=1 P
где Xa, a = 1,2,..., 15, представляет собой последовательность из
пятнадцати независимых компонент тензоров е и VP. Условие положительной
определенности 292 разрешается обычными методами, и в результате мы
получаем иерархию неравенств, которым должны удовлетворять несложные
алгебраические комбинации коэффициентов. Получить такие неравенства
представляется читателю в качестве упражнения. Следствиями этих
неравенств является положительность следующих выражений:
Я2 = (^12 ~Ь 2Ь44) (с12 + 2с44) - (tf 12 + 2d44)2 Q (7 4 32t
1 (1 + а) (С,2 + 2C44> ' .
x2 = (b±±b77)c^-du > 0j cWpo > Q (7.4.33)
a(/44
Легко видеть, что Я] и Я2 имеют размерность длины. Поэтому они,
естественно, служат в качестве характерных длин, фактически они
характеризуют влияние градиента поляризации. Как будет далее показано,
эти длины имеют порядок 10-10 м и, следовательно, попадают в область
межатомных расстояний в ионных кристаллах.
Степень отклонения от изотропности кубического кристалла с центральной
симметрией можно охарактеризовать скалярной величиной |, определенной
соотношением (2.11.35). Для некоторых ионных кристаллов, например NaCl,
эта величина очень
мала (см. табл. 2.11.1), про такой кристалл говорят, что он
слабо упруго анизотропен, в этом случае можно использовать изотропные
определяющие уравнения, чтобы получить приближенное представление о
решении многих задач. Отметим, что пе-
§ 7.4. Линейная теория ионных кристаллов 455
реход ?->-0 соответствует с0->-0 в соотношении (7.4.22). Такой же
предельный переход (т. е. 6-"-0 и rf-vO) нужно выполнить в выражениях
(7.4.23) и (7.4.24), чтобы получить их представления в изотропном случае.
C. Изотропный случай
При с = Ъ = d - 0 соотношения (7.4.21) - (7.4.24) и (7.4.30) принимают
вид
bij - bofoij, CLi j = abij,
Cijkl ~ Cvfiifikl + C44 {bikbjl + b/kbn),
btjki = Ь\2ЬцЬы + 644 (6ik6ji -f- bjkba) + b71 {bikbji - bjkbu), (7.4.34)
d-Uki = d^bifikt + ^44 (bikbji + b/kbu),
292= '/2 {b\2 (S7 • P2) + 2buP(t, j)Pи, /) + 2ЬттРц, j]P[i, j] + C12 (tr
e)2 +
+ 2c44tre2 + 2rfl2(V • P)(tre) + 4rf44P(//)ei,}; (7.4.35)
здесь, согласно (7.4.25), имеют место равенства
ci2 + 2С44 = Си, Ь12 + 2й44 = bu, dl2 + 2^44 == d\\. (7.4.36)
В частности, соотношение (7.4.32) теперь заменяется соотношением
^=1тт^г>°- <7-4-37)
Из условия положительности функции (7.4.35) наряду с результатом Сц >0 мы
имеем также условие положительности вели-' чины
л 2 Ьц а (Ь12 "Ь 2^44) ^ Л in л оо\
^=(1 + а--}= ¦¦о+Бг >°" <7-4-38>
которое определяет еще один характерный масштаб длины.
Отметим, что также и в изотропном случае мы сохраняем. систему
обозначений, введенных для кубических кристаллов (т. ё. не используем
обычные коэффициенты Ламе Яиц); выражения (7.4.34) действительно имеют
обычные изотропные представления, т. е. изотропные материальные тензоры в
линейной теории представляются в виде линейных комбинаций из тензорных
произведений с единичным диадиком (с компонентами Ьц). На практике мы
часто будем использовать изотропное представление. В табл. 7.4.1
приведена система обозначений, близкая к системе Фойгта.
D. Модель динамики решетки оболочка - сердцевина
Задача этого раздела - продемонстрировать в общих чертах способ
построения модели упругих диэлектрических кристаллов с центральной
симметрией на основе так называемого
456 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
длинноволнового приближения теории динамики решеток ионных кристаллов1*.
Для получения модели Миндлин [Mindlin, 1972], следуя работе [Cochran,
1959], разработал конечно-разностную схему на основе рассмотрения
моноатомных и двухатомных решеток из атомов в рамках так называемой
оболочечной модели.
Таблица 7.4.1. Индексная схема для линейно упругих диэлектриков, не
Предыдущая << 1 .. 162 163 164 165 166 167 < 168 > 169 170 171 172 173 174 .. 207 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed