Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
каждом узле решетки) и для двухатомной решетки типа NaCl (такая решетка
представляется двумя рядами чередующихся атомов, в каждом узле решетки
находится по одному атому каждого типа, цифры один и два).
Применив так называемое гармоническое приближение [Ма-radudin et al.,
1971], можно показать, что разложение в ряд Тейлора выражения (7.4.5)
относительно устойчивого равновесия конфигурации системы приводит к
результату
Ф = Ф0 + Ф, + Ф2, (7.4.48)
где Фо - постоянная; Ф] фактически равно нулю, так как устойчивое
равновесие конфигурации отвечает состоянию с минимальной энергией, и Ф2 -
квадратичная форма по U(pa) и W(P;a). Таким образом,
Ф - Ф0 = <Э(11, W). (7.4.49)
Кинетическая энергия системы из N различных ионов в так называемом
приближении Борна - Оппенгеймера [Born, Huang, 1954] может быть записана
в виде
К = Е i m°v (в ")'11 № ")• (7Л50>
3. а
Если ввести лагранжиан
L = K- Ф (7.4.51)
и применить принцип Гамильтона, то получим уравнения движения, которые мы
здесь приводить не будем. Эти уравнения образуют бесконечную систему из
линейных дифференциальных уравнений. Но так как решетка имеет
периодическую структуру, то эту бесконечную систему уравнений можно
упростить, если предполагать решения в виде плоских волн:
U (Р; а) = U (а) exp i [к • X (р; а) - со/],
W (р; а) = W (а) exp i [к • X (Р; а) - cot], (' '
где со - угловая частота и ,к - волновой вектор. Выражения
(7.4.52) определяют так называемые решетчатые волны. Подстановка
выражений (7.4.52) в бесконечную систему уравнений
§ 7.4. Линейная теория ионных кристаллов 461
движения позволяет свести эту систему к системе (2 X 3 X N) линейных
алгебраических уравнений. Частные решения (7.4.52) можно также подставить
в выражение для Ф; из полученного выражения находится потенциальная
энергия континуума в длинноволновом приближении
X - (2я/&)->- оо, Jfe = |k|, (7.4.53)
или, что эквивалентно, в низкочастотном пределе. Полученная таким образом
потенциальная энергия состоит из двух частей: Фв и Фс. Первая
составляющая, называемая борновской, выражает короткодействующие
взаимодействия и ведет себя как г-3 и г~ъ. Вторая выражает
длиннодействующие взаимодействия и ведет себя как г-1, поэтому она
называется кулоновской:
ФС0п1=Ф* + Фс (7.4.54)
Явные выражения для Фв и Фс можно найти в работе [Ascar et al., 1970].
Вектор поляризации в модели вводится следующим образом. При отсутствии
свободных зарядов максвелловское электростатическое поле Е подчиняется
классическим уравнениям
у.Е = -7-Р, V X Е = 0. ' (7.4.55)
Электрический дипольный момент, возникающий из-за деформаций решетки,
осредняется по единичной ячейке объема AV = = (aiXa2)-a3 (рис. 7.4.1).
Таким образом, поляризация с учетом (7.4.41) определяется соотношением
Р (Р) = (e/AV) ? [ZaU (Р; а) + TaW (Р; а)]. (7.4.56)
а
Предположим, что для периодической решетки, в которой имеют место решения
(7.4.52), поляризация Р имеет решение такой же формы, т. е.
Р (Р) = Р ехр г [к ¦ X (Р) - со!]. (7.4.57)
Из (7.4.56) и (7.4.57) следует, что
р = (e/AV) ? [ZaU (a) + TaW (a)] exp [ft • X (a)]. (7.4.58)
a
Аналогичная периодическая зависимость предполагается и для Е:
Е (Р) = Е ехр i [к • X (Р) - соt). (7.4.59)
Подставив выражения (7.4.57) и (7.4.59) в (7.4.55), найдем
Ё = - к (к • P)/k2. (7.4.69)
462 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
Это позволяет вычислить энергию единичной ячейки, обуслов- | ленной
наличием максвелловского электрического поля: |
метР(ДГ) = (АГ) Yj [V2E2(Р) + Е (Р) ¦ Р (Р)]. (7.4.61) 1
Двухатомные решетки. Рассмотрим теперь случай двухатом- [ ных решеток, т.
е. случай таких кристаллов, как, например, галогены щелочных металлов
NaCl, Nal, К.С1 и KI. Упрощенный i вариант модели получается следующим
образом. Поляризуе- 1 мость отрицательного иона галогенов щелочных
металлов обыч- ' но на один порядок больше поляризуемости положительного
иона. Поэтому последней вполне естественно пренебречь по сравнению с
первой. Далее, наряду с взаимодействием сердце- 1
вины с ее оболочкой, учитывается короткодействующее взаимо- |
действие только с двумя ближайшими соседями, после этого |
рассматривается длинноволновое приближение. Пусть а = 1 и '
а = 2 обозначают положительный и отрицательный ионы соот- \
ветственно. В модели с одним поляризующимся ионом положим
у, = 0 и w(i)=o. ;
Чтобы получить длинноволновое приближение, нужно опре- ,i делить
потенциальную энергию как среднюю энергию достаточно представительного
объема среды. Для проведения осреднения будем считать, что
рассматриваемая среда состоит из кубических ячеек с длиной сторон 2го, в
центрах которых находятся частицы. Искомая потенциальная энергия среды
есть сумма энергий этих кубических элементов. Но здесь следует заметить,
что выражения Фв и Фс (7.4.54) получены для бесконечной решетки, так как
суммирование по (3 ведется по всему пространству. Для решетки конечной
протяженности полная энергия получается суммированием по (3 по конечной
