Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
вариационного принципа. Здесь мы укажем на работу Сухуби [Suhubi, 1969],
которую можно обобщить, чтобы получить данную выше систему уравнений для
случая упругих материалов в приближении квазиэлектростатики!).
Е. Нелинейные термоупругие диэлектрики и сегнетоэлектрики
Здесь изложение будет следовать работе [Maugin, Pouget, 1980]. Имея в
виду исследовать в дальнейшем упругие диэлектрики и связанные с ними
диссипативные процессы, введем предположение, что все термодинамические
зависимые переменные из множества А в области (X, t) зависят от
переменных из множества
<?V = {0, Ekl, II*, IV; EKL, rijc, rV, GK\K, L= 1, 2, 3},
(7.3.62)
определенных на (X, t). Точка над символом здесь обозначает частную
производную по времени. Совокупность переменных слева от точки с запятой
в списке д'т определяет термодинамически обратимые процессы, а переменные
справа потребуются для описания термодинамически необратимых процессов.
Действительно, вычислив производную по времени от функции
Ъ = Ъ{9>Т) (7.3.63)
и подставив полученный результат в (7.3.60), найдем
- Ро (л ~¦ ^л) в + SklEkl - °1ЕкП-к + DL&KLn.LK ~
- WdEKL) EKL - WmK) П* - WdilKL) ПKL -______________________ -
(d2/dGK) GK - 0- lQK (SPj) GK > 0, (7.3.64)
о Работа Сухуби сама является обобщением работы [Salt, 1969] на случай
учета градиентов поляризации. Миндлин [Mindlin, 1968] вывел линейную
теорию § 7.4 непосредственно из формулировки принципа Гамильтона.
446 Г л, 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
где
*П = -р-'(<52/де),
Skl (&т) = Skl - Skl, Skl - dh/dEicL, dlEk(9>t) = lEk-rlEk, RKEK=-dI/dUK,
(7'3'65> (r)kl t) = RL&kl> RL&kl - d'ZjdWiK.
При помощи уже хорошо апробированного условия термодинамической
допустимости (см. гл- 2) можно показать, что неравенство (7.3.64) будет
справедливо для линейно независимых динамических процессов из множества
9>а = ?т(r){0к} (7.3.66>
тогда и только тогда, когда
*11 = rj, (7.3.67)
dZldEKL = д2/дПк = дЪ!дПкь = d^dGK = 0, (7.3.68)
так что фактически
2 = 2(?*); R - {0, Екь, П*, 1=1, 2, 3}; (7.3.69)
остается удовлетворить только диссипативному неравенству
ф (r) S& Ш Ekl - DLEk (9>т) tlK + DL(ZKL (9>т) ULK -
-B~1DQk(^t)Gk> 0. (7.3.70)
Следовательно, искомые определяющие уравнения с учетом (7.3.65), (7.3.67)
и (7.3.69) в материальной формулировке имеют вид
Ekl = as dEKL ' (P'r) + Skl (^t), (7.3.71)
lEk - 32 дпк -{9>r) + ^Ek{9't), (7.3.72)
l(r)kl = 32 d^LK (9'r) + ^Kl(9>t), (7.3.73)
Л = = = (7.3.74)
Qk - ¦dQk (^); (7.3.75)
составляющие с индексом D здесь должны удовлетворять диссипативному
неравенству (7.3.70). Если, кроме того, функции для всех этих D-
составляющих относятся к классу гладкости С1 по аргументам из списка
2'd = {EKl, Пх, Пkl, Gk\K, L - 1, 2, 3}, (7.3.76)
§ 7.3. Нелинейные полевые и определяющие уравнения 447
так что 9*,т - Ур (r) S'd, то из обычного рассмотрения условий
гладкости функций в неравенстве (7.3.70) заключаем, что в состоянии
термодинамического равновесия каждая из этих D-составляющих обращается в
нуль вместе с соответствующей ей обобщенной скоростью- Например,
°Q(2Y, 0, 0, 0, G = 0) = 0 и т. д. (7.3.77)
Замечания. Сначала мы будем предполагать, что с полевой величиной LQs не
связаны диссипативные процессы, так что
dl&kl = 0 для любых tiKL ф 0. (7.3.78)
Далее нужно отметить, что полевые величины SE, LE и определяются с
точностью до гиромагнитных слагаемых, которые не выводятся из функции для
энергии и не дают вклада в производство энтропии, так как все они
"ортогональны" соответствующим обобщенным скоростям (разъяснение этого
понятия дается в работе [Maugin, 1980]). Такая гиромагнитная
составляющая, обозначаемая через GLEK, будет предполагаться существующей
только у полевой величины ?Е. Поэтому
aLEKtlK = 0 для любых ГГ# ф 0, а1Екф 0; (7.3.79) в результате мы имеем
уравнение, более общее, чем (7.3.72):
*¦?* = - Ж~ 0?*) + DLEK (Л) + glEk• (7-3.80)
К
Уравнение распространения тепла С учетом (7.3.69), (7.3.65), 5(7.3.78) и
(7Д.79) уравнение (7.3.59) принимает вид
ро0г] = SklEkl - DLEkUk - Тд • Q + р0h. (7.3.81)
Этому уравнению при помощи определяющего уравнения для rj можно придать
форму уравнения распространения тепла
се + Уд • q = № + е (<3s№e)] ekl -
- [DLEK + е (д*1Ек№\ Пк + 0 (д1(r)кс/Щ tlLK + pЛ (7.3.82)
где С (9>я) ^ ~ 0 (d2%/№) {9>R) (7.3.83)
- удельная теплоемкость. Уравнение (7.3.82) - наиболее общее нелинейное
уравнение теплопроводности, которое можно получить в рамках данной
теории. Очевидно, что гироскопическая составляющая CiE не входит в
(7.3.82). Однако вязкость (через SD), диэлектрическая релаксация (через
BiE), термоупругие взаимодействия (через дSER/dQ) и пироэлектричество
(через dRLE/dQ) содержатся в правой части уравнения (7.3.82).
Квазилинейные диссипативные слагаемые. Чтобы упростить уж слишком общую
теорию, рассматриваемую до сих пор, и
448 Гл. 7. Упругие ионные кристаллы, сегнетоэлектрики и керамики
в согласии с условиями типа (7.3.77), мы предположим, что!, оставшиеся
