Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
общем случае такое определение требует, чтобы величина электродвижущей
силы равнялась нулю, чтобы исключить таким образом возможность
бесконечной диссипации. Следовательно, условие
<$ = 0, или эквивалентно Е = -BXv, (5.3.1)
является необходимым условием для реализации гипотезы об идеальной
проводимости. Подставив выражение (5.3.1) i в уравнение (3.1.1) ь получим
VX(BXv) + ~ = 0. (5.3.2)
Но из первого уравнения (5.3.1) также следует (5 = 0, так что уравнение
(5.2.22) i сводится к уравнению
1ЙГ = 0. (5.3.3)
Уравнения (5.3.2) и (5.3.3) есть не что иное, как две эквивалентные
записи одного и того же уравнения. Действительно, учитывая определение
производной по времени с учетом переноса и уравнение V • В = 0,
преобразуем (5.3.2) к виду
В = 0. (5.3.4)
С учетом определения 99 через В и соотношения (2.3.52) легко видеть, что
уравнения (5.3.3) и (5.3.4) - это фактически одно и то же уравнение,
записанное в материальной и эйлеровой конфигурациях соответственно.
Интегрируя (5.3.4) по регулярной материальной поверхности У и применяя
теорему переноса (II. 5) из приложения А. II, находим
^-$B-rfa = 0; (5.3.5)
&
этот результат означает, что в идеальном проводнике полный поток
магнитной индукции через движущуюся материальную поверхность остается
неизменным во времени. Это утверждение фактически всего лишь частная
форма закона Фарадея (3.2.60)
для случая, когда всюду в объеме проводника обращается
272
Гл. 5. Упругие проводники
в нуль. Другими словами, согласно (5.3.4) - (5.3.5), можно сказать, что в
идеальном проводнике магнитная индукция переносится вместе с веществом
или вморожена в вещество.
Можно и по-другому взглянуть на предельное уравнение
¦>
(5.3.2) или (5.3.4). Предположим, что / и В связаны законом Ома в
изотропной форме (5.2.17). Исключив Е и / из уравнений Максвелла (3.1.1),
в которых Н = р~1В и <7f = 0, получим следующее уравнение для Н или В:
V2B = Hm)-'[^- + VX(BXv)], (5.3.6)
где величина
= (5.3.7)
называется магнитной вязкостью или коэффициентом магнитной диффузии
проводника.
Для идеальных проводников о стремится к бесконечности,
а три - к нулю, так что уравнение (5.3.6) переходит в
предель-
ное уравнение (5.3.2) для ненулевого В. В общем случае уравнение (5.3.6)
позволяет определить характерное число Rm; если L - характерная длина, с0
- характерная скорость, то отношение конвективного и диффузионного
слагаемых в (5.3.6) можно оценить величиной (ср. с (5.2.20))
р IV X (В X v) | с0 L ,
Rm~ cr\m j V2B | -Tl^-aLc 0- (5-3-8)
Это] число безразмерное и полностью аналогично по своему характеру и
применению числу Рейнольдса из гидромеханики. В частности, если Rm >> 1,
то вынужденный перенос силовых магнитных линий преобладает над их
диффузией и электрическое сопротивление проводника пренебрежимо мало. Это
же относится и к слагаемому с джоулевой диссипацией в уравнении (5.2.26),
так что соотношения (5.2.25) и (5.2.26) для идеальных проводников
преобразуются (в безразмерной форме) к виду
'dt=TKivi,K (5.3.9)
|r + erV(Q/e)^0- (5-зл°)
В случае же, когда ес 1, из второго уравнения (5.3.1) видно, что
слагаемые, квадратичные по Е, в выражении для электромагнитного тензора
напряжений tem (5.2.7) ц слагаемые типа v(r)G становятся величинами второго
порядка малости (т. е. релятивистскими) по сравнению с (со/с) или л/ес.
Поэтому в обычном галилеевском приближении уравнение (5.2.7) прини-
§ 5.3. Идеальные проводники
273
мает вид
$> / = щ И, t]? = tf, = BtB, - >/2(5.3.11)
Выражение для электромагнитной силы (5.2.6) можно переписать в виде
Fim = mK, П? = ^(ад-4в2Х*,г), (5.3.12)
а уравнение (5.2.3) с учетом F = 0 - в виде
p0^ = V,.(r + Tem). (5.3.13)
Уравнение энергии в размерной форме (5.2.8) для адиабатических процессов
Q = 0, h - 0 переписывается в виде
e°w(e + Tv'+?k)=-V"-КТ' + Т'")' (5-3. 14)
Таким образом, систему нелинейных полевых уравнений для идеально
проводящего материала и адиабатических процессов можно записать в виде
консервативной системы уравнений, состоящей из уравнений (5.2.27)2,
(5.3.3), (5.3.13), (5.3.14) и соотношения (5.3.10) в виде равенства с
условием Q = 0, т. е. уравнений
0 - к.
все эти уравнения имеют общую; консервативную форму:
д? + (^ак), К - 0=1. 2, ..., (5.3.16)
где все величины являются функциями времени t и лагранже-вых координат
Хк. Оставшееся уравнение Максвелла - уравнение (5.2.27)! - служит только
для определения поля тока 3-, когда В, а значит, Ни? уже найдены. Система
уравнений
(5.3.15) весьма примечательного вида будет применяться ниже при
исследовании распространения нелинейных волн в идеальных проводниках с
учетом магнитоупругости.
Для случая идеальных проводников Маккарти [McCarthy, 1967; 1968] нашел
другую элегантную форму уравнения (5.3.13).
18 Ж. Можен
274
Гл. 5. Упругие проводники
Можно заметить, что в безразмерных переменных
, если -ф = -ф (F, 0). (5.3.17)
Положив
¦фет = (2/)-1 S • (С-123), =
axi, к
(5.3.18)
можно показать, что уравнение (5.2.23) принимает вид
