Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
четыре ненулевые компоненты:
и = {"!(*,, х2), и2(хь х2), 0}, Н = {Я1(л,) Ха), Н2(хь х2), 0}.
(5-5.1)1
Уравнения (5.4.14) и (5.4.13) в случае статики при f = 0 и при
пренебрежении тепловыми эффектами дают для ненулевых компонент
соотношения
<?,, + d2t2l + (х0 [ v2a, (н\ - я2) + д2 (я2я,)] = о, dxt2l + d2t22 - ix9
[ */*а2 (Щ - я2) - (3, (я2я,)] = о,
а также
?2Я, = 0, У2Я2 = 0, V2 = д2 + д2. (5.5.3)-
Введем функцию напряжений или потенциал ф по формуле
^21== ^2^1ф \^оН2Н\ = 112. (5.5.4)-
Тогда уравнения (5.5.2) тождественно удовлетворяются, если 'l.=#P-V2Ho
(Щ-Щ),
/22 = <?*Ф+,/2Ио(Я?-Я2").
Условия совместности (2.2.54) для плоских деформаций имеют вид
д22еП + д1е22~2д2д1е21 = 0- (5'5-6)'
Подставив выражения (5.5.4) и (5.5.5) в уравнение (5.5.6) с учетом закона
Гука, найдем следующее уравнение, впервые полученное в работе [Paria,
1961]:
A2A^ = G(H), Л2 = V2 = d2 + д\, (5.5.7)-
где
о (Н) = - I [Я - <4) (Щ - Щ) + ад (Я,Я,)]. (5.5.8)
Уравнение (5.5.7) - однородное бигармоническое уравнение. Для решения
конкретных задач его нужно дополнить неоднородными граничными условиями
на границе двумерной области в плоскости (х, у). Коэффициент v -
коэффициент Пуассона (см. определения (2.11.29)).
Линеаризуем уравнения (5.5.3) и (5.5.7) относительно магнитного поля,
положив
Н\ = Яд ~Ь h\, Н2 = Лг, (5.5.9)-
где h=(hi, h2, 0) -возмущение магнитного поля, а Но =
= (Яо, 0, 0)-первоначальное однородное магнитное поле-
278 Гл. 5. Упругие проводники
Квадратами и произведениями hi и h2 можно пренебречь, тогда уравнения
(5.5.3) и (5.5.7) примут следующую линеаризованную форму:
A2/t1 = 0, A2/t2 = 0, (5.5.10)
Л2Л2ф k2d\hl = 0, k2 = р0Я0/(1 - v); (5.5.11)
при выводе (5.5.11) использовались уравнения V-h = 0 и
(5.5.10). Аналогичная линеаризация уравнений (5.5.4) и (5.5.5) дает
t2l = - d2dicp - (1 - v) k2h2,
tn = <?|ф - i/2 (1 - v) k2 (Я0 + 2/г2), (5.5.12)
t2l = d24> + '/2(l-v)k2(H0 + 2hl).
Уравнения (5.5.10) - (5.5.12) теперь преобразованы к виду, дозволяющему
ввести их представление в комплексной форме, тсак это часто делается в
двумерной гидродинамике и теории упругости (см. например, [Мусхелишвили,
1958]). Пусть 2 = = Xi ix2 = хiy - обычная комплексная переменная, а
черточка над буквой указывает на комплексно сопряженную величину,
например z = x - iy. Тогда легко показать, что уравнения (5.5.10) и
(5.5.11) можно записать в виде
^ -0, -?fe- = 0, (5.5.13)
dz dz ' dz dz
16-
d4q>
P-5-14)
dz2 dz2
Той же подстановкой уравнения (5.5.12) можно скомбинировать в виде
+ ^22= , (5.5.15)
- *" + 2it2l = 4 -fj- + (1 - v) fe2 (Н0 + 2/1, - Ш2). (5.5.16)
Решение первого уравнения (5.5.13) для вещественной пере-
менной hi имеет вид
2Л, = Мг) + Ш, (5-5Л?)
тде fi(z) - произвольная функция. Тогда из уравнения V-h -0 получаем
2h2 = i[fi(z)-mi (5-5.18)
Решение уравнения (5.5.14) представляется в виде суммы
Ф - Ф1 $2' (5.5.19)
где Ф1 - вещественное решение однородного уравнения для ф\
г?У = °. <S-5'2°>
§ 5.5. Статическая задача 279
а ф2 - некоторый частный интеграл этого уравнения. Из последнего
уравнения следует
2^i = f2 (2) + /2 (2) + z/a (2) + 2/gr(z); (5.5.21)
функцию ^2 можно получить последовательным интегрированием (5.5.14) после
подстановки выражения (5.5.17) через /ф В результате имеем
*2 = --^*2[22Мз) + 2*Ш. (5.5.22)
Используя теперь решения (5.5.21) и (5.5.22) в уравнениях
(5.5.15) и (5.5.16), находим
tn + t22 = 2 [/' (2) + Г (z)] -jk> Щ (2) + zf[ (z)],
t22-tu + 2it21 = 2[f"(z) + z?"(z)]- (5.5.23)
- -1- [z2/" (z) + 2Ш + (1 - v) k2 [H0 + 2/, (z)],
где штрих обозначает дифференцирование по z. Если положить f'3(z) = a(z),
/2 (2) = b (z), (5.5.24)
то уравнения (5.5.23) примут вид
13
*и + *22 == 2 [fl (z) + а (*)] - j k2 W'i (z) + (z)]>
*22 - *11 + **21 = 2 [2а' (z) + ft (z)] - (5.5.25)
- k2 [z2f" (z) + 2/, (2)] + (1 - v) ?2 [ffQ + 2/j (z)].
Имея в виду рассмотреть дальше задачу с цилиндрической симметрией, введем
полярную систему координат (г, 6). Соотношения, связывающие компоненты
тензора напряжений в разных системах координат, имеют вид [Мусхелишвили,
1958]:
Ur + *ее= *11 + *22,
^ее - Ur + 2г7ге = e2tQ (t2 2 Ui 4* 2tf21),
поэтому
2 (фг - Uqq) = tu + /22 - e2'e (*22 - *11 + 2^21). (5.5.27)
Из уравнений (5.5.25) -(5.5.27) следует, что t" - itr6 = a(z) -f a (z) -
k2 [zf' (2) -f zf' (z)] -
- e2'6 [zar (z) + b(z)-^k2 (z2f" (z) + 2Щ) +
+ (l-v)k2(j-H0 + f/(z))]. (5.5.28)
280
Гл. 5. Упругие проводники
Если ПОЛОЖИТЬ
a(z) = al(z) + a2(z), b{z) = bl{z) +b2{z), (5.5.29)
где "1 и Ь\ таковы, что на окружности z = Rei& имеет место соотношение
trr - itrQ = a, (z) -f ах (z) - е2,е [гщ (z) + bx (z)]; (5.5.30)
величины a2 и b2 удовлетворяют соотношению (5.5.28) с нулевой левой
частью и z = Rem¦ Таким образом, функции а\ и Ь\
соответствуют чисто упругому решению, отвечающему заданным поверхностным
напряжениям на границе области, а функции а2 и Ь2 - дополнительным
напряжениям и деформациям, возникшим из-за наличия магнитного поля.
Полученные формулы наиболее легко применить для решения следующей задачи.
