Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Магнитоакустический эффект в идеальных проводниках проявляется через
наличие параметра ея, который указывает на небольшое увеличение скорости
упругих волн (по сравнению со случаем чистой упругости), что эквивалентно
небольшому упрочнению коэффициента упругости.
Магнитоакустический эффект составляет предмет экспериментальных
исследований с 1960-х гг. [Ale'rs, Fleury, 1963; Aubauer, 1967; Goodrich,
Lange, 1971; Lange, 1969; Roberts,.
[|(х0(Я2 + Я|)] = р0й, (5.6.5)
а уравнение (5.4.15) принимает форму
(5.6.6)
(Я + 2(х)|5--р|^-р0Я04^ = Ро". (5.6.8)
(5.6.9)
где
(5.6.10)
284
Гл. 5. Упругие проводники
1968] (рис. 5.6.1). Изменение скорости возмущений и коэффициентов
упругости по типу формул (5.6.11) систематически отмечается во всех
исследованиях упругих (идеальных) проводников электричества (например,
[Chattopadhyay, Maugin, 1985]). Обычно эти изменения имеют величину в
пределах нескольких
нг, юъэг
Рис. 5.6.1. Изменение скорости продольных звуковых волн в золоте в
зависимости от приложенного магнитного поля (направление распространения
[110]; сплошная линия - теория) [Alers, Fleury, 1963].
Н, kS
Рис. 5.6.2. Изменение затухания амплитуды продольных волн,
распространяющихся вдоль оси [110] в очень чистом кристалле меди, в
зависимости от величины магнитного поля (поле приложено перпендикулярно
направлению распространения волн и направлено вдоль указанных
кристаллографических осей) [Alers, Fleury, 1963].
•процентов [Maugin, 1981а]. Намного интереснее этот эффект проявляется в
релятивистском случае в таких астрофизических объектах, как нейтронные и
магнитные звезды, вещество которых находится под действием чрезвычайно
сильных гидростатических давлений [Maugin, 1978а].
Во многих работах изучается распространение гармонических плоских волн в
упругих проводниках как с конечной, так и с бесконечной проводимостью в
отсутствие тепловых эффектов; материал может быть анизотропным или
изотропным. Особый интерес представляют работы [Dunkin, Eringen, 1965;
Hut-ter, 1975, 1976], посвященные явлению затухания волн
[(рис. 5.6.2), на котором приведены численные значения], а также работы
[Kaliski, Rogula, 1960, 1961], где рассматриваются поверхностные волны
Рэлея в упругих проводниках (для этого движение должно быть многомерным),
и работа [Liley, Smiley, 1968] о распространении волн в неоднородном
магнитном поле. Магнитоупругие среды со случайными свойствами также
привлекли внимание исследователей [Dhalr, 1979].
§ 5.7. Магнитотермоупругие волны
285
В настоящее время проявлен интерес к задаче о взаимодействии упругой
проводящей структуры с обтекающим ее потоком ионизованного газа
[Librescu, 1977]. Это же относится и к задаче о дифракции магнитоупругих
волн в проводниках с дефектами решетки [Chattopadhyay, Maugin, 1985] и
неоднородностями [Селезов, 1984]. Много полезных ссылок можно найти в
обзорах Новацкого [Nowacki, 1975] и Можена [Maugin, 1981а]. Вместо того
чтобы рассматривать все это подробно, предпочтем дать в следующем
параграфе изложение некоторых простых понятий из теории
магнитотермоупругости с линейными соотношениями.
§ 5.7. Магнитотермоупругие волны
Рассмотрим систему уравнений (5.6.6) - (5.6.8) для материала с конечной
электрической проводимостью и при отсутствии тепловых источников Q = 0;
попробуем найти решения в виде плоской гармонической волны, т. е. в виде
(и, hz, 0) = (и', Н, 0') ехр [г (kx - оо7)]; (5.7.1)
частота оэ считается вещественной, так что волновое число k будет
комплексным. В результате получаем систему уравнений для амплитуд (a',
k', 0'), которая в матричной форме записывается в виде
h0ka> cr\mk2 - й" 0 ч г и'
c\k2 - (c)2 i (р0/Ро) H(]k г (Р/р0) k
р0о&(c) 0 xk2 - гро^ю -
Ы 1 = [0]. (5.7.2)
0'
Эта система уравнений имеет нетривиальные решения тогда и только тогда,
когда детерминант матричного множителя равен нулю. Введя характерную
частоту ?2* и безразмерные величины %, I, 8д и ёя по формулам
й* = р 0<г?с2/х,
со ^ kc, Р20о _ "imQ* (5.7.3)
% ~ Q* ' Q* ' 80 _ р0"4 ' 8Н~ 4 '
найдем, что уравнение, выражающее равенство нулю детерминанта, имеет вид
еяё2Х (х + е) + (X + 1Ы2) [(ё2 - X2) (X + m + 4lh\ = 0; (5.7.4)
здесь использовано соотношение (5.6.11) з- Уравнение, соответствующее
чистой термоупругости, восстанавливается, если положить ея = ёя = 0.
Уравнение (5.7.4) можно также предста-
286 Гл. 5. Упругие проводники
вить как кубическое относительно I2 с комплексными коэффициентами
8дЕ6 + + < 0 + ея + (r)я + %8е)] -
- ?УП + ей + е9 - IX (1 + ея)] + х4 = 0. (5.7.5>
Имеется зависимость k от "в, а следовательно, дисперсия; для малых
частот, когда % < 1 или ш < Q*, эту зависимость можно получить следующим
образом. В этом случае квадратами и более высокими степенями % можно
пренебречь; тогда из уравнения (5.7.5) находим следующие (безразмерные)
комплексные волновые числа
1 = ± (1 + о Vt [1 + ее + (-4^)]'/2-. (5.7.6>
чисто термоупругое решение для этого же случая имеет вид
? = ±(1+/) д/-§-(1+ее)1/2. (5.7.7}
