Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (5.3.19) совместно с (5.3.9) и (5.3.10) использовалось в работе
[McCarthy, 1966а] для исследования распространения магнитотермоупругих
слабых разрывов в идеальных проводниках.
§ 5.4. Линейная теория
Мы не будем воспроизводить здесь всю процедуру линеаризации нелинейных
уравнений из § 5.2 и 5.3. Мы просто удовлетворимся формулировкой линейной
теории (для бесконечно малых деформаций), в которой только
пондеромоторная сила остается нелинейной в присутствии магнитного поля
или поля индукции. Линейные уравнения для анизотропных деформируемых тел
приведены в работах [Kaliski, Petykiewicz, 1959; Ка-liski, Nowacki,
1969]. Здесь же рассматриваются только изотропные тела в рамках теории
магнитотермоупругости проводников. Пусть и - поле упругих перемещений.
Для неполяри-зующегося и ненамагничивающегося изотропного упругого
проводника и бесконечно малых деформаций относительно естественного
ненапряженного состояния уравнения (5.2.2) - (5.2.4) и
(5.2.6) принимают следующий вид (В = р0Н):
0 1т = (тЬ + РеяП?), я - T*Kt. К, (5.3.19)
где
Ф* = Ф+Рвяфет. (5.3.20)
axi, к
- Т?'
(5.4.1)
_ ^2"г ? I ?вт I 4е
Ро -Qif -lt~rii +'/",/>
VS " v, + ч ['S+-*Г ч <Е х Н),]. Г = ^/ХН.
(5.4.4)
(5.4.3)
(5.4.2)
5.4. Линейная теория
275
Тензор "упругих" напряжений t? имеет такой же вид (2.11.25), как и в
классической линейной теории термоупругости, т. е.
tfi = t/i = {Xekk - f"0) b/i + 2це/г- = tih (5.4.5)
где 0 = 0 - 0О - локальное отклонение температуры от однородной
температуры 0О в исходном состоянии, К и р-коэффициенты Ламе изотропного
линейного упругого тела, р = -т = = (ЗА, + 2р) а, где т - коэффициент
термонапряжений, а - коэффициент расширения. С той же степенью точности
имеем
Р==Ро(1 -Zkk), (5.4.6)
поэтому уравнение (5.4.2) можно переписать в виде
p0u = (X + ц) V (V • u) + (iV2u - pV0 + X Н + f, (5.4.7)
где точка над буквой указывает на частную производную по времени.
Можно показать, что взаимосвязанные законы переноса электрического заряда
и тепла (5.2.13) для материала с линейными изотропными свойствами
принимают следующую форму:
/ = а ф - xoV0),
0 ; (5.4.8)
q = - xV0 + я о/,
где а - электрическая проводимость, и0 - коэффициент, связывающий
электрическое поле с градиентом температуры, к - коэффициент
теплопроводности и я0 - коэффициент, связывающий теплоперенос с
электрическим током. Эти коэффициенты могут зависеть самое большее только
от 0О. Неравенство (5.2.14) накладывает ограничения на возможные значения
коэффициентов о, ко, к и яо. Линеаризованная форма уравнения переноса
тепла (5.2.8), как можно показать, имеет вид (ср. с (2.11.21))
Ро^б + Р0О-^(V -u) + n0V ¦/- kV20 = р0й = Q, (5.4.9)
где - удельная теплоемкость при постоянной деформации и Q - интенсивность
объемных источников.
Уравнения (5.4.1), (5.4-7) и (5.4.9) являются фундаментальными
уравнениями линейной теории магнитоупругости изотропных конечных
проводников. Эти уравнения, конечно, должны быть дополнены подходящими
граничными и начальными условиями, чтобы можно было решать смешанные
краевые эволюционные задачи.
Можно рассмотреть дополнительные упрощающие предположения. Во-первых,
пренебрежем слабым влиянием градиентов температуры на электрический ток
(т. е. положим яо = ло = 0),
18*
276 Гл. 5. Упругие проводники
тогда уравнения (5.4.8) и (5.4.9) примут вид
/ = о (е + X н) , q = -xV0, (5.4.10)
Po^0 + Peo^-(V-u)-xV2e=Q; (5.4.11)
последнее уравнение имеет такой же вид, как и в теории чистой
термоупругости. Во-вторых, из уравнений (5.2.22) видно, что при е(С 1
током смещения dD/dt можно пренебречь по сравнению
с током проводимости /.Поэтому распределение магнитного поля определяется
из уравнений (5.2.27) для бесконечно малых деформаций, т. е.
VXH-у/, V • Н = 0. (5.4.12)
Исключив затем Е и / из уравнений Максвелла и уравнения движения, получим
(в декартовой системе координат)
V2H=JV[H-VX(uXH)], (5.4.13)
p0u = (А. + u) V (V • u) + pV2u - PVG + (х0 (V X H) X H; (5.4.14)
при этом уравнение (5.4.11) переписывается в виде
V20 - К !0 - Л -Jj- (V • u) = - Q/K- (5.4.15)
Здесь мы положили
N = (сцт)~ \ К = ф$,
(5.4.16)
Ц = Po0o/x, Q = QK/x.
Как уже отмечалось, уравнение (5.4.13) для идеальных проводников
принимает вид
Н е= Н - V X (й X Н) = 0. (5.4.17)
Следовательно, величина Н переносяится вместе с материалом.
Типичные граничные условия для тепловых величин даны на примере уравнения
(2.11.23). Механическое граничное условие (5.4.3) принимает форму
"*4, = '(", + ". Is*8/- '/.В%]. (5.4.18)
так как слагаемое, содержащее Е, становится величиной порядка ес и ею
можно пренебречь в галилеевском приближении.
§ 5.5. Статическая задача
Сначала проиллюстрируем применение уравнений (5.4.13) -
(5.4.15) в статическом двумерном случае в отсутствие тепловых эффектов.
Все полевые величины считаются не зависящими от
§ 5.5. Статическая задача 277
координаты х3 = г. Будем использовать обозначение Т = = (<?i, <?2, д3) в
декартовой системе координат. Предположим, что-векторы и и Н имеют только
