Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
линейным и нелинейным волновым движениям. В § 5.2 на основе уравнений,
полученных в гл. 3, выписываются общие полевые и определяющие уравнения,
описывающие нелинейно упругие проводящие материалы. Случаю идеальных
проводников или проводников, которые могут рассматриваться в качестве
таковых, уделено особое внимание в § 5.3, а в § 5.4 дана линейная теория
проводящих материалов как с конечной, так и с бесконечной проводимостью
при наличии эффектов теплопроводности.
В § 5.5 приведен пример решения задачи в рамках теории магнитоупругости
проводников при помощи методов теории функций комплексного переменного.
Элементы теории распространения гармонических (линейных) волн затронуты в
§ 5.6 и 5.7. Следующие семь параграфов посвящены случаю идеальных
проводников, для которого система уравнений теории магнитоупругости
позволяет получить определенные результаты и когда с ней можно работать
таким же образом, как и с любой консервативной гиперболической системой.
Эта система уравнений в линеаризованной форме для трехмерных
266
Гл. 5. Упругие проводники
движений является симметрично гиперболической, так что* теория
магнитоупругости позволяет дать геометрическую формулировку того же типа,
что и оптика. Такая формулировка схематично обрисована в § 5.8; она может
использоваться для исследования распространения волнового фронта от
некоторого источника.
В § 5.9-5.14 в основном по работам Дж. Бейзера с соавторами дано довольно
полное изложение нелинейных одномерных волновых движений для идеальных
проводников; сначала определены характерные скорости и области (§ 5.10),
затем получены соответствующие условия на скачках Ренки-на - Гюгонио (§
5.11), дана классификация возможных решений в виде ударных волн (§ 5.12)
и введены некоторые элементарные понятия о простых волнах (§ 5.13).
Качественный анализ в рамках развитой теории магнитоупругих ударных волн
и простых волн дан в § 5.14 для задачи о так называемом "магнитоупругом
поршне" (решение в линейном приближении будет также получено
геометрическими методами § 5.8). В заключение, чтобы почувствовать
некоторые особенности анализа магнитоупругой устойчивости токонесущих
структур, рассмотрен классический пример растянутого проводящего стержня
и токонесущих пластин.
§ 5.2. Нелинейные полевые и определяющие уравнения
В этой главе предполагается, что рассматриваемая среда не-содержит
свободных зарядов (<7f = 0), не имеет электрической
поляризации (Р = ^ = 0) и практически не намагничивается, т. е.
Следовательно, основное внимание здесь будет уделено электропроводности
и, возможно, теплопроводности, так как в хороших проводниках, таких, как
металлы, оба этих эффекта в значительной степени взаимообусловлены.
Нелинейную формулировку системы уравнений образуют нелинейные полевые
уравнения из уравнений Максвелла и уравнение движения. В материальной
формулировке они записываются следующим образом.
Уравнения Максвелла (см. § 3.2) в объеме материала
Ж = 0 или = 0.
(52.1)
VR-$ = 0, VRX(r)+ J 58 = 0, VR.SB=0, =
(5.2.2)*
§ 5.2. Нелинейные полевые и определяющие уравнения 267
соответствующие граничные условия (на скачках) записывают ся в виде
(3.2.93) - (3.2.95).
Уравнение движения в объеме материала
соответствующее граничное условие (на скачке) имеет вид
здесь tij и Nк - единичная нормаль к материальной границе в текущей и
материальной конфигурациях соответственно. Для сформулированных уравнений
у нас есть соотношения
здесь гипотеза (5.2.1) была принята во внимание; величина зФ определяется
из (2.7.5).
К уравнениям (5.2.2) и (5.2.3) нужно добавить уравнение энергии, которое
описывает тепловые процессы. Уравнение
(3.8.16) для данного случая принимает вид
Из уравнений (5.2.1) и (3.8.29) следует, что плотности свободной и
внутренней энергий не зависят от вектора (материальной) магнитной
индукции В. Поэтому общие определяющие уравнения, построенные в § 3.8 для
упругих материалов,
p0x = F + Fem+F*-T?;
(5.2.3)
NkTki = $Ф j 4- /];
(5.2.4)
(5.2.5)
а также
Fem = -^-(F • 3-) X В s= (3- X 33) • F~*t
С с
An?/ = ni \$Т + V{Gj\>
(5.2.7)
(5.2.6)
tiy - tPij - EtEj BfBf - Уг (Б2 + В ) 6^;
(5.2.9)
(5.2.8)
g = ЗЗ^УСГ'-В, TEKi = xltLSKL
(5.2.10)
268
Гл. 5. Упругие проводники
сводятся к уравнениям
ф = Ф (Е, 0),
(5.2.11)
(5.2.12)
а также 1)
3 = 3 (Е, 6; (r), G),
Q = Q(E, 0; (r), G), GSFs(j);
(5.2.13)
здесь в соответствии с уравнением (5.2.11) эффекты, связанные с магнитной
индукцией (например, эффекты магнитосо-противления, эффект Холла), были
отброшены. Эффекты термоупругости и эластосопротивления по-прежнему
присутствуют. Определяющие уравнения (5.2.13) должны удовлетворять
остаточному диссипативному неравенству
и условиям непрерывности (3.8.32). Результаты (3.8.33) и другие из § 3.8
применимы для данного случая, но без учета зависимости от IB. В
частности, если отбросить слагаемое с теплопроводностью и предположить,
что среда ведет себя изотропно, то первое уравнение (3.8.33), т. е.
