Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
сечения зоны взаимодействия смесителя по конечно-разностной схеме можно
удержать все члены разложения (4.2.26) (см. [Maugin, 1985; Planat,
1984]). Постоянные электроупругости вщ. ijki и ft. tjmn, как выяснилось,
играют важнейшую роль при оценке эффективности работы акустического
смесителя. Более
\7
260
Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
детальное рассмотрение нелинейных электромеханических эффектов в
пьезоэлектрических и других кристаллах читатель может найти во многих
работах, ссылки на которые имеются в книгах [Maugin, 1985; Maugin,
Collet, Pouget, 1986].
§ 4.13. Замечание о пьезоэлектрических полупроводниках
Выше мы имели дело с пьезоэлектрическими диэлектриками или изоляторами,
т. е. с материалами, которые так плохо проводят электрический ток, что
могут с очень хорошей точностью рассматриваться как изоляторы. Некоторые
пьезоэлектрические кристаллы, т. е. кристаллы, демонстрирующие эффект
линейного электромеханического взаимодействия (из-за того что у них нет
центра симметрии), являются полупроводниками. К ним относятся кристаллы
германия (Ge), сульфида кадмия (CdS) и арсенида галлия (GaAs). Это
означает, что в таких кристаллах может образоваться континуум из
электрических зарядов (разных носителей заряда, дырок, дефектов^ и что
такие кристаллы могут проводить электрический ток, если эти заряды не
связаны. В простейшей феноменологической теории пьезоэлектрических
полупроводников по-прежнему приходится иметь дело со взаимосвязанными
механическими и электрическими определяющими уравнениями (4.3.21). Кроме
того, нужно рассмотреть определяющее уравнение для электропроводности,
учитывающее как омическую проводимость, так и диффузию зарядов в
анизотропном кристалле. Например, можно положить
?i = -QVikEk - v\iik-jrjr' (4.13.1)
axk
где q =qo-\- q - числовая плотность свободных зарядов в пересчете на
электроны, q0 - начальная плотность и q - возмущение относительно
исходного состояния, piife - тензор подвижности и v = 1гвВ1е, где ke -
постоянная Больцмана, 0 - температура и е - заряд электрона. Правая часть
уравнения Гаусса здесь уже больше не равны нулю, и нужно учитывать закон
сохранения заряда. Таким образом, в приближении квазиэлектростатики нужно
иметь дело со следующими тремя полевыми уравнениями:
Рй1 = тц,р V D = -eq, _?./ = <), (4.13.2)
а также с определяющими уравнениями (4.3.21) и (4.13.1). Следствием этих
уравнений является то, что пьезоэлектрические полупроводники
демонстрируют взаимодействие между электроакустическими волнами и волнами
заряда [Hutson, White, 1962]. Эти волны будут затухающими, так как
учитываются диссипативные процессы (проводимости и диффузии).
§ 4.13. Замечание о пьезоэлектрических полупроводниках
261
Кроме того, продемонстрирована возможность пространственного усиления
волны [White, 1962]; это означает, что при поиске решений, зависящих от
координат и времени только через множитель ехр [г(со^ - kx)], может
оказаться, что >0 (затухание во времени) и 1т(&)>0 (усиление в
пространстве).
При исследовании акустических волновых эффектов в пьезоэлектрических
полупроводниках представляют особый интерес следующие величины.
Электромеханический коэффициент взаимодействия К. Определяется так же,
как в теории пьезоэлектричества для диэлектриков:
е2
= 0(Ю-2). (4.13.3)
ес
Время диэлектрической релаксации та- Согласно уравнениям Максвелла,
величина |D|/|J| имеет размерность времени. Поэтому
*"~TTf-W=0<Kr,>' <4-|3-4)
где раь - характерная компонента тензора подвижности.
Скорость дрейфа va- В электрическом поле Е0 частица приобретает скорость
vd = - р?0. (4.13.5)
Из этого соотношения можно, определить параметр к - отно-
шение скорости дрейфа и акустической скорости:
K = vd/vac. (4.13.6)
В общем случае к < 1 и имеет порядок 0.9-0.2.
Длина волны Дебая Ха = 2п/&в. Эта величина определяется по формуле
^2 __ Электрическая энергия ^jg у\
D Тепловая энергия ekgQ ' \ )
Континуальное моделирование пьезоэлектрических полупроводников в стиле
гл. 3 читатель может найти в работах [Lorenzi, Tiersten, 1975; Tiersten,
1984; Daher, 1984; Daher, Maugin, 1986a, b; Maugin, Daher, 1986]. Для
качественного феноменологического моделирования нужно учитывать различие
между разными типами носителей заряда. Кроме того, нужно принять во
внимание эффекты, связанные с наличием пограничных слоев и зарядов внутри
них; это приводит к введению термодинамических поверхностей раздела
(слоев, соединяющих разные среды); вдобавок магнитное поле может изменить
в некоторой степени некоторые параметры (эффект Холла, эффект
магнитосопротивления). Все эти эффекты очень
262
Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
сложны, и их описание заняло бы слишком много места, чтобы его можно было
изложить в этой книге (см. работы Тьерстена, Дахера, Можена).
Литература
Auld В. А. (1973). Acoustic fields and waves in solids, vol. 1. - New
York: J. Wiley-Interscience.
Baumhauer J. C., Tiersten H. F. (1973). Nonlinear electrostatic equations
