Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
должно иметь вид, соответствующий изотропному представлению симметричного
(материального) тензора второго порядка 2. Этот тензор можно представить
в виде
где аа - функция температуры 0 и трех главных инвариантов тензора
деформации Е. Задачи статики об электропроводности конечного
деформируемого упругого тела (например, скрученной проволоки) можно
найти, например, в работе [Pipkin, Rivlin, 1960; 1961].Однако эффектом
эластосопротивления, как правило, пренебрегается, кроме случая, как уже
отмечалось, некоторых полупроводников. Поэтому для описания изотропных
материалов, например в пренебрежении взаимосвязи между тепло- и
электропроводностью, применяются следующие простые определяющие
уравнения:
(5.2.14)
3- = s (е, 0)-е,
(5.2.15)
2 (Е, 0) - 0OI + 0iE -р ,
(5.2.16)
f = о<§ или 3 = 0/С 1 • Q = Q(E, 0; G);
(5.2.17)
(5.2.18)
11 Дополнительное обсуждение этих уравнений можно найти, например, в
работах [Borghesani, Morro, 1974; Eringen. 1980, гл. 101.
§ 5.2. Нелинейные полевые и определяющие уравнения 269
последнее уравнение такое же, как и в случае чистой термоупругости §2.10.
Чтобы оценить относительное влияние различных слагаемых в полевых
уравнениях (5.2.2), (5.2.3) и (5.2.8), удобно ввести безразмерные
величины. Рассмотрим случай, когда F = 0, h = 0 (нет внешней массовой
силы и объемного источника тепла). Введем характерные величины L, т, с0 =
Ь/т, Во, То, Qo, во - макроскопическая длина, интервал времени, скорость,
магнитная индукция, напряжение, поток тепла и отсчетная температура
соответственно. Теперь введем безразмерные величины, обозначаемые справа
сверху звездочкой, по формулам
Г = ТГ, t - xf, В = ?0В\ Н = ц0-'В0Н\
Е = В0с0Е*, D = e0V0D*, % =
Т = Т0Г, е = (Tq/po) е*,
Q=QoQ*, е = е0е*, ц = (Tq/po) 0гГ 1т|*;
здесь снова введены диэлектрическая постоянная ео и магнитная
проницаемость р0 вакуума (так что с2=1/р0ео). Можно
определить следующие безразмерные числа:
ес = (со/с)2, ен = (сА/со)2,
Р = р0с*Г-1, v = (5.2.20)
гт = PQ0/ РосО' == gBcq,
где
с2= -= -^ (5.2.21)
А РоЦо Ро ' '
- квадрат так называемой альфвеновской скорости. Эта характерная скорость
впервые была введена в магнитной гидродинамике. Она характеризует
относительное значение магнитных эффектов по сравнению с механическими
при волновом распространении. Параметр гт, очевидно, характеризует
значение тепловых эффектов по сравнению с механическими. Параметр гс
позволяет провести сравнение динамических механических эффектов
(например, в акустике через с0) с электромагнитными (с - скорость света в
вакууме). Позже мы вернемся к параметру Rm, известному как магнитное
число Рейнольдса.
Подставив выражения (5.2.19) - (5.2.20), как для зависимых, так и
независимых переменных, в уравнения (5.2.2), (5.2.3), (5.2.8) и (5.2.9),
учитывая (5.2.10) и, наконец, опуская звездочку, чтобы упростить запись,
приходим к следующей
270
Гл. 5. Упругие проводники
системе безразмерных уравнений:
V*X(r) + -^ = 0, Уд • 58 = 0,
у*-(c) = о,
P[lf~eHT^X")-F-*] = ^.n
~Щ = TKiVi, К "Ь ' (r) -
а также к неравенству
|i_-^.(r) + ery*-(Q/e)>o.
Уравнение (5.2.24) с учетом (5.2.17) можно также переписать в виде
Ж + "Сi ' (CS) - "Л • Q. (5.2.26)
Если основное внимание уделяется акустическим явлениям, для которых Со с
и, следовательно, гс С 1, то третье уравнение (5.2.22) можно заменить
уравнением
У л X Ф = тогда как Уд-23 = 0; (5.2.27)
поэтому задача, рассматриваемая в этом приближении, будет фактически
изучаться в рамках квазимагнитостатики. Сформулированные уравнения
применялись в работах Маккарти ![McCarthy, 1966b, 1967, 1968], а также в
работе [Maugin, 1981] при исследовании различных задач о распространении
слабых разрывов (так называемых волн ускорения) в рамках теории
магнитоупругости проводников.
§ 5.3. Идеальные проводники
Как уже отмечалось в гл. 1, электрическая проводимость - это физическая
величина, перекрывающая по порядку величин если не наибольший, то один из
наиболее широких диапазонов (25 порядков). Это позволяет многие очень
хорошие проводники, например некоторые металлы, практически во всех
отношениях считать идеальными проводниками. Другими словами, они
оказывают пренебрежимо малое сопротивление электрическому току.
Математически эту идеализацию можно выразить в виде предельного условия,
которое можно получить следующим образом. Выражение для джоулевой
диссипации, соответствующей эффекту электрической проводимости,
записывается
(5.2.22)
(5.2.23)
(5.2.24)
(5.2.25)
§ 5.3. Идеальные проводники
271
в виде 3- • @ или f ¦ &> в зависимости от того, какая конфигурация,
материальная или текущая, используется для описания этого явления. В
соответствии с этим проводник называется идеальным проводником
электрического тока тогда и только
тогда, когда отношение | 2 I/I @ I или | f |/| <$ | становится
бесконечным при конечной величине тока проводимости. Для простейшего
соотношения (5.2.17) это означает, что о стремится к бесконечности. В
