Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
в (4.3.21), и (4.3.10)2-
Уравнения (4.12.6), (4.12.7), (4.12.12) и (4.12.16) -(4.12.19)
применялись в работах [Tiersten, 1981; Planat 1984; Maugin, 1985]. Они
также использовались для получения уравнений, описывающих малые поля,
накладываемые на фоновые отклоняющие поля [Prechtl, 1983; Tiersten, 1971;
1973]. Здесь мы только кратко рассмотрим два возможных способа
использования этой системы сильно нелинейных уравнений для описания
преобразования акустических сигналов.
В. Интермодуляция в пьезоэлектрическом резонаторе
Для иллюстрации применения несколько упрощенных сформулированных в
предыдущем пункте уравнений рассмотрим снова задачу о емкостном
резонаторе § 4.7, но уже в нелинейном режиме; мы также сделаем
определенные предположения о типе кристаллографической симметрии
кристалла и виде возбужденной в объеме пластины моды. На1 рис. 4.12.1
изображено исследуемое устройство. Кристалл кварца разрезан таким образом
(вдоль так называемого АТ-сечения), что переменное электрическое
напряжение, приложенное к электродам, покрывающим поверхности Х2 - ±h,
вырабатывает благодаря пьезоэффекту в объеме кристалла сдвиговую моду
мДХг)- Единственные нелинейности, которые мы сохраним, связаны с
коэффициентами упругости; это означает, что ряд (4.2.26)
17 Ж. Можен
258 Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
обрезается на пунктирной линии. Используя обозначения Фойгта, получаем
следующие уравнения [Tiersten, 1975; 1976]: При -h < Х2 < +А
Ml СббЩ, 22 е2бФ, 22= Д (ы1, 2). 2, (4.12.20)
е26ы1,22 е22Ф, 22 ~ 0- (4.12.21)
При | Хг | = 7г (на механически свободных поверхностях)
СббН1,2 + е2бФ, г - -Д (Щ, г)3" (4-12.22)
Ф = ± Уг (Vi cos + V2 cos a>2t). (4.12.23)
Здесь приложенное электрическое напряжение состоит из двух компонент с
двумя разными частотами. Все нелинейности, связанные с упругостью,
собраны в правых частях уравнений
(4.12.20) и (4.12.22) благодаря обозначению
х=V2C22 -ь с266 -ь Сбббб-
(4.12.24)
Наконец, выражение для компоненты электрической индукции вдоль оси Х2
имеет вид
D2 = 2 в22Ф, г'>
(4.12.25)
из этого соотношения следует, что электрический ток, подводимый к
электродам, описывается следующим классическим выражением:
г' = 7г[5(r)2^, (4.12.26)
где Ае-площадь электродов (фиксированных в лагранжевых координатах), а
?)2 - лагранжева компонента электрической индукции.
Происхождение явления интерполяции можно описать следующим образом. Если
линейное решение "(0) задачи о резонаторе (см. § 4.7), представленное в
виде суперпозиции двух решений с угловыми частицами ап и ш2, подставить в
уравнение (4.12.2Ю), то обнаружим, что решение для и будет содержать
гармонические члены с частотами 2ш1 и 2<в2 наряду с так
Рис. 4.12.1. Нелинейные сдвиговые колебания в объеме кварцевого
резонатора.
§ 4.12. Элементы нелинейной теории
259
называемыми интермодуляционными слагаемыми с частотами он + (r)2 и o)i -
о)2. Решение следующего порядка (при разложении по степеням малого
параметра типа безразмерного А) будет содержать члены с частотами 3o)j и
Зо)2 и с интермодуляционными частотами 2оц + юг, 2о)г + on, 2оц - о)2 и
2co2 - - о)ь Если резонатор возбуждается двумя сигналами с частотами o)i
и о)2, симметрично расположенными относительно резонансной частоты о)о и
попадающими в полосу пропускания резонатора, то в эту полосу попадают и
интермодуляционные частоты 2o)i - о)2 и 2о)2 - оп; это может быть
нежелательным эффектом, но его можно минимизировать выбором
кристаллического сечения или подбором материала, нелинейного в меньшей
степени.
В то же время явление интермодуляции дает возможность охарактеризовать
нелинейные упругие свойства кристаллов
(по комбинации А из коэффициентов упругости до четвертого порядка).
Решение уравнений (4.12.20) - (4.12.26) для рассматриваемого случая можно
аелучить непосредственно в виде ряда по степеням малого параметра.
Уровень интер модуляции определяется как отношение энергий,
вырабатываемых фундаментальной частотой (скажем, coi) и
интермодуляционными частотами (скажем, 2coi - (о2). Анализ
методами теории возмущений показывает, что это отношение
меняется как А-2
[Tiersten, 1975]. Аналогичный анализ проведен также для
Х-сечения танталата лития [Tiersten, 1976]; в этом случае, если
возбуждались две сдвиговые моды, то одна из них была доминирующая. Это
позволило оценить величину А порядка 1.7-1010 Н/м2.
С. Акустический смеситель
В предыдущем примере не учитывались нелинейные электромеханические
взаимодействия. Такие нелинейные взаимодействия можно учесть численно при
анализе работы волноводного смесителя [Planat et al., 1982]. В этом
устройстве два идентичных датчика вырабатывают сигналы в виде
поверхностных волн с одной и той же частотой ю; эти сигналы,
распространяющиеся в виде поверхностных (электро-) акустических волн,
встречаются и, нелинейно взаимодействуя, создают смешанную волну, которая
воспринимается как сигнал с частотой 2со (подложка - пьезоэлектрический
нелинейно упругий кристалл, например ниобат лития LiNb03). При анализе
