Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
[Dieulesaint, Royer, 1Г84].
§ 4.11. Поверхностные волны Блёстейна-Гуляева
251
поверхностных волн, когда отмеченное в предшествующем параграфе
расщепление системы уравнений происходит автоматически. Чтобы увидеть
это, надо рассмотреть распространение поверхностных волн в
пьезоэлектрическом кристалле, у которого ось симметрии шестого порядка
перпендикулярна сагиттальной плоскости. Примером могут служить
гексагональные кристаллы из кристаллического класса С6 или 6mm (например,
сульфид кадмия CdS), электромеханические коэффициенты которого приведены
на диаграмме рис. 4.3.1, или керамики, ориентированные вдоль х3. Задача о
поверхностных волнах (4.10.1) - (4.10.8) при условии, что ось симметрии
кристалла направлена вдоль оси х3, перпендикулярной сагиттальной
плоскости {х\,х2), и предположении, что обобщенное решение (и, ф) зависит
только от х\, х2 и >1, расщепляется на две задачи: задачу о волнах чисто
рэлеевского вида, описанную в § 2.14, с упругим перемещением вдоль
сагиттальной плоскости и не зависящую от электрических свойств кристалла,
и задачу о поверхностных SH-волнах с перемещением и3, связанным с
электростатическим потенциалом ф. Мы сосредоточим наше внимание на
последней задаче с решением вида
Используя обозначения Фойгта для ненулевых компонент, найдем
в эти соотношения входят только коэффициент упругости Сf4,
пьезоэлектрический коэффициент е15 и проницаемость ец. Уравнения (4.10.1)
и (4.10.2) принимают вид
Sbg - {° - ызез -L Ps, ф}-
(4.11.1)
(4.11.2)
а также
D\ - в\ьиз, 1 - епФ, ь D2 = ?l5M3, 2 8пф, 2"
(4.11.3)
т3/, 1 - *31, 1 "Ь т32, 2 - рйз,
V • D = D\t [ + D2,2 = 0;
(4.11.4)
отсюда следует
CuV2u3 + e15V ф - рй3, e15V2u3 - BUV2(p = 0,
(4.11.5)
252 Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
где V2 - оператор Лапласа в сагиттальной плоскости. Граничные условия
(4.10.3) - (4.10.5) имеют вид
т23 = 0, (4.11.6)
[?>а] = 0, (4.11.7)
Ф -Фо (заземленная поверхность),
[ф] = 0 (связь с внешним "электростатическим" (4.11.8) решением)
при х2 = 0, а также
| м31 и ф -> 0 при |х2|->оо. (4.11.9)
Первое уравнение (4.11.5) можно переписать в виде
c\V\ = u з, (4.11.10)
где
c2r = -. с44 = Cf4 (1 + К2), К2 - ~~ё~ ¦ (4.11.11)
Р еИС44
Величина ст - скорость распространения объемных пьезоэлектрических SH-
волн, рассчитанная по классическому коэффициенту упругости с упрочнением
Cf4.
Введя новый "электростатический" потенциал ф по формуле
ф = ф - (е15/в") Из, (4.11.12)
найдем, что уравнения (4.11.5) 2, (4.11.6) и (4.11.8) в случае
заземленной поверхности преобразуются к виду
У2ф = 0 при х2 ^ 0, (4.11.13)
и при Хч - 0
Сии3, 2 4" elS1!5, 2 =
(е\ъ/вп) % + Ф = 0.
Подставив, теперь пробное решение вида
("з, ф) = {A, B)exp[i(at - kx{ -k2x2)], (4.11.15)
найдем, что уравнения (4.11.10) и (4.11.13) при х2 > 0 накладывают
условие
(k2 + k2) = ю2/с2, (4.11.16)
которое для k2 имеет два корня с отрицательными мнимыми частями:
k2=-ikt, k2 = -ik (k > 0), (4.11.17)
где
S = 0-|)1/2, Z = (cBa/cT)2, c\Q = &2/k2 < c\\ (4.11.18)
(4.11.14)
§ 4.11. Поверхностные волны Блёстейна-Гуляева
253
последнее ограничение похоже на ограничение (2.14.9). Поэтому скорость
распространения мод Блёстейна-Гуляева меньше "пьезоэлектрически
упрочненной" скорости объемных сдвиговых волн в том же направлении. Если
положить X = kx2, то общее решение (4.11.15) записывается в виде
(4.11.19)
и3 = А ехр (-?Х) ехр [г (<вt - kx{)\,
Ф = [В ехр (-X) + (е15/е") А ехр (-?*)] ехр [г (оit - kxx)]\
подставив это решение в граничные условия (4.11.14), получим
с44?Л + е15В = 0, (е1В/впМ + Я = 0. (4.11.20)
Для А и В существует нетривиальное решение только тогда, когда
(4.11.21)
IIе 44
Подставив этот результат в уравнения (4.11.18), получим
cla = cUl-?). (4.11.22)
Скорость Сва очень близка к скорости ст- Для такого материала, как CdS,
/("0.19, сВо/ст = 0.9994 и ст= 1788 м/с. Глубина
Рис. 4.11.1. Изменение с глубиной и3 и ср для волн Блёстейна"-Гуляева в
CdS (заземленная поверхность) [Dieulesaint, Royer, 1980].
проникания упругого перемещения определяется формулой р = = (^)-1 =
Я/2я^, где Я -длина волны. При /( = 0.19, ? = 0.036 глубина проникания
р"4.42Я. Изменение амплитуды волны с глубиной изображено на рис. 4.11.1.
Очевидно, что с точки зрения теории упругости волны Блёстейна-Гуляева
являются
254
Гл. 4. Упругие диэлектрики и пьезоэлектричество
объемными SH-волнами, несколько изменившимися из-за появления
электрического слагаемого в граничном условии: действительно, при К и К,
стремящихся к нулю, обе величины ? и \k2\ обращаются в нуль и волны
Блёстейна-Гуляева переходят в плоские сдвиговые волны, которые есть не
что иное, как объемные SH-волны; амплитуда перемещения теперь уже не
затухает при отходе от поверхности.
В случае, когда вместо первого уравнения (4.11.8) используется второе,
уравнение для ф (4.11.12) будет справедливо и в области хг < 0; анализ,
аналогичный проведенному выше, показывает
Кроме того, в этом случае волны глубже проникают в подложку, чем в случае
