Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
всего этого формализма для случая магнитоупругости можно найти в работе
[Bazer, 1971]. Интенсивность моды еа, меняющаяся на каждом волно-
19*
292
Гл. 5. Упругие проводники
вом фронте (вдоль луча), определяется при движении волнового фронта в
пространстве. Лучи, ассоциируемые с данной модой, переносят энергию в
этой моде; скорость вдоль луча совпадает с групповой скоростью. Эти
результаты можно использовать, чтобы получить, например, уравнения для
волновых фронтов, испускаемых точечным источником, а также в качестве
основы для эквивалентной конструкции Гюйгенса в теории магнитоупругости.
§ 5.9. Одномерное нелинейное движение
Рассмотрение нелинейных движений следует начинать с формулировки полевых
уравнений в лагранжевой конфигурации. В случае идеальных проводников для
адиабатических процессов эти уравнения сформулированы в виде (5.3.15) для
объема упругого тела, где полевые величины не имеют скачков разрыва.
Одномерное движение вдоль оси X = Xi = 8ikXk определяет-
ся как движение со следующей частной формой х = $?(Х, t):
t) = 6iKXK + tl(X, t). (5.9.1)
Все величины, появляющиеся в уравнениях, предполагаются зависящими только
от пары переменных (X,t). В частности, наряду с частной производной по
времени d/dt можно ввести производную дх так, что
: eid
ду^
дХ '
отвечающий
(5.9.2)
где в! - единичный вектор базиса, отвечающий координате X = Xi. Введя
векторы деформаций 1 и 1 по формулам
• -"А
найдем
F =
j-1 -Hi о
F = fi
1 0 -h nl
Из О
о 1 о
/Г1
где
дХ
-1
fa = 0, a = 2, 3.
(5.9.3)
(5.9.4)
(5.9.5)
Подставив первое выражение (5.9.4) в определения / и Е, получим
/ = det F = 1 + (5.9.6)
7 fi + 7г^2 /г /з П
Е= U 0-0 J., (5.9.7)
- /з 0 0_
§ 5.9. Одномерное нелинейное движение 293
где f2 = /j + + f|. Далее мы будем использовать скалярную
величину N:
NBatl = P-f* = f* + f*. (5.9.8)
Можно также заметить, что
v = dl/dt, (5.9.9)
а также с учетом (5.9.3) и того факта, что I = I (X, t),
dxv = dti. (5.9.10)
Последнее уравнение можно рассматривать как уравнение совместности.
Наконец, если q = q(x,t) и Q(X, t) = q(x(X, t)), то легко установить
справедливость следующих соотношений:
Vq = idxQ,
-Tt = f'd*Q' = "*=2'3' (5-9П>
"=ад-/|мл •
Эти выражения позволяют использовать более удобную полевую величину В (X,
t) = В (х (Z,t)) вместо материальной величины 0 в уравнениях (5.3.15), а
также благодаря (5.9.1) пренебречь различием между строчными и прописными
латинскими индексами. Учитывая определение S3 и соотношения (5.9.3) -
(5.9.7),
легко устанавливаем, что система (5.3.15), к которой нужно присоединить
уравнение (5.9.10), в рассматриваемом случае имеет вид
Bi = const (не зависит от X и t), (5.9.12)
0 = dt[(l+ft)B]-Btdxv, (5.9.13)
0 = p0dfV - е, • [дх (Т? + Тет)], (5.9.14)
0 = dfl - дх\, (5.9.15)
0 = ^ri, (5.9.16)
" = (в +в<) - е, ¦ аЛ [<Т-• v)+
+ Д-Х)+^>"ВХ")]. (5.9.17)
Ро = (1 + /i)p. (5.9.18)
Это есть лагранжева формулировка уравнений, описывающая непрерывное
одномерное движение идеального магнитоупругого континуума (т. е. идеально
проводящей упругой среды).
Определяющие уравнения. В полевые уравнения (5.9.14) и я (5.9.17) входят
только некоторые компоненты тензоров и
294
Гл. 5. Упругие проводники
Тет, а именно Гн и Ти , * = 1, 2, 3. Если предположить, что
уравнение состояния имеет вид
e - e{t,T\), (5.9.19>
то легко показать, что определяющие уравнения (5.2.12) заменяются
уравнениями
т'=*'%;¦ 0=Jf- <5-9-20>
Учитывая (5.9.18), будем считать, что всегда выполняется /1>-1; это
означает конечную (положительную) плотность. Разумеется, величина 0
должна быть строго положительной. Следует, однако, отметить, что величина
е зависит от компонент f только через тензор деформаций Е- В частности,
если среда изотропная, то е зависит от f только через три главных
инварианта тензора Е- Следуя работе [Bland, 1969], несложно показать, что
в этом случае зависимость e(i, ц) необходимо принимает вид
e = V(fuN,n). (5.9.21)
Здесь ф - определенная функция fit N и ц, так как каждый из.
трех главных инвариантов тензора Е можно выразить только
через /1 и N\ это легко показать, вычислив по выражению (5.9.7) trE, tr Р
и trE3. Предполагается, что плотность энтропии в однородном
недеформированном естественном состоянии т] = 0. Для простоты функция ф
предполагается аналитической функцией от своих аргументов; дополнительные
ограничения будут накладываться, как только в них возникнет
необходимость. В частности, следующие производные считаются всегда
существующими:
д2Ф <92ф
W~7F' <?f] dN
д2ср d2q> <92ф
<Paw - *Pfr| ' У^~~дг\М~
(5.9.22)
Неогуковские материалы. Разложив функцию ф(fu JV, т|)
в ряд около естественного недеформированного состояния (fu N, т|) = (0,
0, 0) и сохранив члены по ц и по компонентам f вплоть до второго порядка,
получим
в = eori + усЩ + у c]N + -§- Л2 - wnf(5.9.23)
Здесь cL, ст, <в>, к и 0О - выбранные подходящим образом постоянные.
Легко видеть, что cL и ст - скорости распространения продольных и
