Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
аналогичную геометрической оптике. Таким образом, мы можем ввести понятия
фазовой функции, волновых фронтов, лучей, эйконали и огибающей Гюйгенса.
Перед тем как сформулировать некоторые из этих понятий, отметим, что
линейная комбинация
(U, L(dt, V)U) = 0 (5.8.12)
0 = ^ + V-#, (5.8.13)
где
воспроизводит уравнение энергии в виде
Ш dt
S = ~<?/, L0U) =4- {~ + P0v2 + tr [еТв (е)]},
1 ° (5.8.14)
W = S-vTB(e);
fe
где S - вектор Пойнтинга для идеальных проводников в линеаризованной
теории; как легко видеть, он равен
S-cEXH=.c(iBoXv)x-?-^(B,Xv)XB.
В. Геометрическое решение
Будем искать решения системы (5.8.6) в форме ряда
U (/, х) = Z f(a) (Ф (*, х))Г7(а) (х), (5.8.15)
а=0
где
/ , mW ( 1. Ф ^ О
/( ,(ф) = -^Я(ф), //(Ф) = { 0 ;^0. (5.8.16)
а функции ?/(а)(х), а = 0, 1, ... и ф(^, х) считаются непрерывными и
непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам.
Решение U (t, х) называется бегущей модой, если ф* = = <?Ф/dt фО, или
стационарной модой, если ф/ = 0. Поэтому запишем
ф (t, x) = W(x) - t (бегущая мода),
. (0.0.17)
Ф (х) = W (х) (стационарная мода);
здесь W{x) называется фазовой функцией. Уравнение
9> (/): ф (/, х) = W (х) -1 = 0 (5.8.18)
определяет волновой фронт. Задача о распространении волн формулируется
следующим образом. Пусть [/<">, ос = 0, 1, ...,
19 Ж- Можеи
290 .Гл. 5. Упругие проводники
задано на обеих сторонах исходной поверхности разрыва ff'o, уравнение
которой записано в параметрической форме. Задача состоит в определении
(i) фазовых функций, соответствующих стационарным и бегущим фронтам,
которые соответственно либо остаются, либо уходят от поверхности ff'o, и
(ii) значения ?/<"> на движущихся фронтах для всех t > 0. Гармонические
во времени решения, дополняющие эти результаты, получаются, если положить
/(а) (ф) = ехр . (5.8.19)
Скорость распространения (нормальная скорость) и единичный вектор вдоль
направления распространения определяются формулами (см. приложение A.III.
2 с учетом изменений в обозначениях)
" = TWT-r.vir. (5.8.20)
Подставляя пробные решения (5.8.15) в уравнение (5.8.6) и приравнивая
нулю коэффициенты при f(a)(y),, с учетом (5.8.20) получаем
0 = L(-Vn, n)U">^[-VnL0+ I tikLk]U(tm) (5.8.21)
I Vf|L(- Vn, n) U(a+i) = -[L (dt, V') Uia) + F(i7ta))]t (5.8.22)
a = 0, 1, 2....
Из уравнения (5.8.1) имеем дополнительные соотношения ВТ = 0, | VW
\B(k+l) = V • B(a), a = 0, 1, 2, .... (5.8.23)
Кроме того, непрерывность перемещения u(t,\) требует, чтобы тензор е(0)
на бегущем фронте имел следующую форму:
еч = * 177 М" + п№)' V" ф °- (5-8-24)
Задача свелась к определению решений уравнений (5.8.21),
(5.8.22) совместно с условиями (5.8.23) и (5.8.24). Теоретически
величина СД0) находится с точностью до произвольного множителя
интенсивности для любой из мод, удовлетворяющей уравнению (5.8.21). Для
этого нужно найти собственные значения V?, a=l, 2, ..., и полную систему
собственных векторов
Ua)==SaRa> а=1> 2- 12> ГДе
(Rat LoRfi) = 6ар (ортонормированность) (5.8.25)
и га называется интенсивностью моды а.
Анализ при помощи мод во многом параллелен анализу методом характеристик,
данному ниже в § 5.10, и мы хотели бы
§ 5.8. Геометрическая теория магнитоупругости
291
здесь избежать его повторения. Отметим только один важный результат,
состоящий в том, что, как и в линейной теории упругости, энергия бегущей
моды делится поровну между кинетической энергией и суммой внутренних
упругой и магнитной энергий моды.
Следующий шаг в геометрической формулировке теории состоит в определении
коэффициента интенсивности вдоль лучей, связываемых с модой, через ее
известные начальные значения при помощи уравнения нулевого порядка из
системы (5.8.22). Остальные уравнения этой системы тогда позволяют
последовательно определить ?/(1), ?/(2), .... Для этого введем понятия
поверхности волновых нормалей и лучевых уравнений. Положим
p = vr = pn, p==\VW\ = Vnl. (5.8.26)
Можно показать, что равенство нулю детерминанта линейной системы
уравнений, соответствующей (5-8.21), означает
0 = П Я/ (х, р) Н7 (х, р), (5.8.27)
где
Ht (х, р) = ± рс} - 1, J е /; (5.8.28)
здесь сj - скорость, a f - множество допустимых бегущих мод. Для любого
фиксированного х уравнение (5.8.27) описывает поверхность в р-
пространстве, называемую поверхностью волновых нормалей (или поверхность
замедления в акустике кристаллов). Каждое из уравнений
Ht (х, р) = 0, /е/, (5.8.29)
является дифференциальным уравнением в' частных производных первого
порядка для функции W (так называемое "эйко-нальное" уравнение). Решение
этих уравнений получается при помощи решения лучевых уравнений, которые
являются уравнениями Гамильтона в (х, р)-пространстве с гамильтонианом
ЯДх, р):
dx д гт+ , .
(х' р):
. р (5.8.30)
= -ГЯ/+(х, р), /е/;
при этом должно выполняться условие р-(dx/dt)=l для всех t^Q; параметр t
- так называемый параметр лучевой кривой [Courant, Hilbert, 1962, гл.
II]. Как и в оптике, здесь имеет место принцип Ферма. Полное развитие
