Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно исследованиям Вилла [352] и Вилла и Нордветта [287], приведенные интуитивные соображения оказываются справедливыми. Когда мы имеем дело с общей теорией относительности или с другими теориями гравитации, в которых «первичной геометрии» нет или она лишь незначительно сказывается, мы можем свободно выбирать скорость ППН-системы координат (в некоторый начальный момент времени). Ho для теорий, подобных теории Ни, с предпочтительной «универсальной системой покоя» («теорий с предпочтительной системой») лишь в этой предпочтительной системе координат постньютоновская метрика может принимать форму, полученную в предыдущем параграфе [формулы (39.23)]. Это ограничение, накладываемое на ППН-метрику. не означает, что в теориях с предпочтительной системой координат все расчеты должны проводиться исключительно в рамках универсальной системы покоя. Скорее, это означает, что для таких
§ 39.9. Скорость ППН-координат 331
2
системы отсчета
теорий ППН-метрика требует обобщения, учитывающего движение системы координат относительно универсальной системы покоя.
Требуемого обобщения МОЖНО ДОСТИЧЬ, 1) подвергая ППН- пПН^етрики метрику (39.23) лоренцеву бусту ОТ предпочтительной системы на движущиеся
{^стар} к НОВОЙ ППН-СИСТЄМЄ КООрДИНаТ {Янов}, движущейся относительно первой Co скоростью W, 2) производя изменение калибровки, предназначенное для сохранения максимальной возможной простоты метрических коэффициентов. Буст вместе с изменением калибровки имеет следующий вид [287]:
Жстар = SC110B + J (^HOB • w) W + ( I + у IV2 ) WtH0B +
+ О (є%ІОв-f-є4л:нов), (39.29а)
*стар = ^нов (і + у W2 + |-W4) + ( '1 + -|-W2) ^h0b-W +
+ A2 + ? — I j Wj —(- O (г%10в + є5а?нов), (39.296)
t
---[изменение калибровки
X (^НОВЇ "^hob) = ^ Po (^ИОВ> -^нов) I ^HOB ^HOB [ ^3^НОВ- (39.29в)
{Замечание. Мы требуем в духе постньютоновского приближения, чтобы скорость w новой ППН-системы относительно универсальной системы покоя не превосходила характерные внутренние скорости в системе:
I w I =C е.) (39.30)
Это изменение координат приводит к соответствующим изменениям скорости вещества:
1
нов ( I - W' Vhob — у W2)
-Vw (1-у w -Vhob) + <9 (є5). (39.31)
Длинные, но простые выкладки (упражнение 39.11) дают для метрики в новых ППН-координатах следующие компоненты (здесь и далее индекс «нов» мы опускаем):
gjk = Sjfl (I + 2,yU) + О (є4), (39.32а) Окончательный
ВИД метрики
goj= -^AiVj-J-A2Wj + (а2-|а,) WjU-Ct2WkUhj +О (е5),
(39.326)
goo = —1 + 2U — 2PC/2 + 4Y — иЛ — х\3) + (а2 + «з — ai) W1U +
+ (2а3— OC1) WjVj-Ct2WjWkUjh+0 (е6). (39.32в)
332 39. Другие теории гравитации
Здесь GC1, CC2> «з — некоторые комбинации ППН-параметров:
K1-YA1T-A2 — 47 — 4, (39.33а)
CX2 = А2 -f- ?— 1, (39.336)
06, = 4?-2v —2 —?. (39.33b)
Появляющиеся здесь «гравитационные потенциалы» U, Y1-, Wj, 'F, и 3) должны вычисляться в новой «движущейся ППН-системе координат» по тому же рецепту, что и в универсальной системе покоя. Поэтому их функциональный вид остается прежним, но их значения в заданном событии теперь другие (см. упражнение 39.11:)
и <ж= ( T^T (39-34а)
Vj (х, t) = \ —j'J-i'f' l) (39.346)
с Ро(ж\ t) [(•*— Х’)-г(я>’, t)\(xi — X-)d3Xr
Wj (X, t) = j ^^----------|Ж-Ж;]Г~ ----¦ (39-34в)
xF (Ж, t) = j dV,
if = PiW2 + PJJ + "2- РзП + "2 Р^Р/Рої (39.34г)
Jt [х, O=J —Х'—Ж Р ^3*'. (39.34д)
1’ ,(•«', t) I (Xj — x'j) (xk— XfJ
з (X,«) - J --------------"-и-*;-1----------------------Л'-
(39.34е>
Величина Ujk представляет собой гравитационный потенциал, определенный выражением (39.23а):
5 Po (ж', t) (Xj—х’:)(хъ—xl) „
^-------\J_J~ k d?x\ (39.34Ж)
Отметим, что скорость w ППН-системы координат относительно универсальной системы покоя появляется в явном виде в ППН-метрике лишь в том случае, если хотя бы один из коэффициентов CC1, сс2, OC3 не равен нулю. Таким образом, теории, в которых CC1 =
— сс2 = сс3 = О (например, общая теория относительности), не обладают предпочтительной универсальной системой покоя в пост-ньютоновском пределе; все ППН-системы в этих теориях «равноправны». Напротив, теории, в которых по крайней мере один из коэффициентов Oc1, а2, OC3 не равен нулю (например, теория Ни), обладают предпочтительной системой.
Обобщенная форма ППН-метрики (39.32) благодаря топ процедуре, которой мы пользовались при ее построении, инвариантна
§ 39.10. ПЛН-тензор энергии-импульса 333
относительно лоренцева буста и согласованного с бустом выбора калибровки («постгалилеевское преобразование, см. [343]):
¦®стар = ^hob “Н "2* (жнов * Р) P ^ I H ) Р^н°в "Ь
“1“ О (є ^HOB ~f” ^ *^нов) 1 істар = ( I + \ P2 + 4 P4 ) *нов + ( I + T P2 ) • P + (39‘35)
+ ( у A2 4~ fel — I ) P' ^hobX + О (e6fиов 4~ S5Xhob) ¦
Конечно, она инвариантна также относительно пространственных вращений.
39.11. Переход к движущейся системе
Покажите, что замена координат (39.29) приводит к изменению коэффициентов ППН-метрики от формы (39.23) к форме (39.32). іУказания: 1. Твердо помните, что потенциалы U, Vjl Wj, А и S не являются скалярными полями. Каждая система координат обладает своими собственными потенциалами. Например, воспользовавшись соотношениями (39.29) в интеграле для Ucтар, находим
